Max o min real in funzioni in due variabili

[zio_mangrovia]

sto studiando la ricerca dei minimi/massimi nelle funzioni due variabili e vedo che sono disponibili due metodi:
utilizzando la matrice Hessiana e con il metodo di Lagrange, mi chiedo però quando applicare l'uno e l'altro.
Non capisco se si possono usare entrambi quando è definita una restrizione.
Esempio:
nell'esercizio $f(x,y)=xy$ su ${(x,y)inRR^2:2x^2+y^2<=1}$
dei miei appunti vedo applicato un metodo che non ho ben chiaro:
sono state calcolate le 4 derivate parziali della $f(x,y)$ per la matrice Hessiana e vengono :
$f_x=y$
$f_y=x$
$f_(xx)=0$
$f_(xy)=1$
$f_(yx)=1$
$f_(yy)=0$

il cui $det$ non ha portato a nessun risultato perché uguale a $-1$ ma se fosse stato positivo avrei potuto affermare la presenza di max o min relativi, ma di quel punto se non ho calcolato le derivate parziali in nessun punto?!
Quindi l'esercizio prosegue con la parametrizzazione.
Mi chiedo ...non avrei dovuto porre le due derivate parziali uguali a zero? Per trovare i punti candidati ad essere max o min?

[donald_zeka]

Ma chi vi insegna certe cose? A che diavolo serve la matrice hessiana nel calcolo di massimi e minimi assoluti?

Mi chiedo ...non avrei dovuto porre le due derivate parziali uguali a zero? Per trovare i punti candidati ad essere max o min?

Certamente, chi ha fatto 'esercizio non ci ha capito nulla

[Weierstress]

Comunque, il metodo dell'hessiana è utile in un insieme aperto (o nell'interno di un chiuso equivalentemente), il metodo dei moltiplicatori si usa invece sui vincoli del tipo $g(x,y)=0$. Quindi quella che ci presenti è una falsa dicotomia

[zio_mangrovia]

"Vulplasir":Ma chi vi insegna certe cose? A che diavolo serve la matrice hessiana nel calcolo di massimi e minimi assoluti?

La matrice H mi serve proprio per capire se quel punto è di max/min relativo, giusto?
Una volta trovati questi punti devo verificarli con la restrizione giusto? Cioè devono verificare ${(x,y)∈RR^2:2x2+y^2≤1} $, giusto?

[zio_mangrovia]

"Weierstress":Comunque, il metodo dell'hessiana è utile in un insieme aperto (o nell'interno di un chiuso equivalentemente), il metodo dei moltiplicatori si usa invece sui vincoli del tipo $g(x,y)=0$. Quindi quella che ci presenti è una falsa dicotomia

Quindi la matrice Hessiana potrei utilizzarla nel caso di $x^2+y^2<1$ (insieme aperto) e con $x^2+y^2<=1$ escludendo la frontiera. Mentre nel caso di una semplice equazione dovrei passare al metodo dei moltiplicatori.

[donald_zeka]

La matrice H mi serve proprio per capire se quel punto è di max/min relativo, giusto?

Si, se cerchi estremi assoluti in un dominio chiuso, il metodo dell'hessiana è completamente inutile, oltre al fatto che richiede che la funzione sia $C^2$.

Quindi la matrice Hessiana potrei utilizzarla nel caso di

No, in esercizi come questi NON si usa la matrice hessiana, sono calcoli INUTILI, NON ti serve a niente sapere se il punto in questione è un massimo/minimo relativo o sella. Stai cercando estremi assoluti, la ricerca dei possibili punti di estremo assoluto si effettua sui punti in cui si annulla il gradiente, sui punti in cui la funzione non è derivabile e in cui non è continua, una volta trovati questi punti, ci basta solo calcolare il valore della funzione in quei punti e prenderne il massimo e minimo, niente hessiana.

p.s. quello che ho detto vale per la ricerca di massimi e minim assoluti, chiaramente se cerchi massimi e minimi relativi devi usare l'hessiana, inoltre la ricerca di massimi relativi sulla frontiera non ha alcun senso, quindi presumo che tu stia cercando i massimi assoluti della funzione su quel dominio chiuso