[Max-Min] funzione in due variabili esponenziale

aleskandro

18 dic 2012, 08:37

up

gio73

18 dic 2012, 10:39

"aleskandro":
Ciao a tutti, sto studiando analisi 2 (ingegneria) e mi trovo a dover trovare minimi e massimi in
$ f(x,y)=sqrt(|2x-y|)*e^-(x^2+y^2) $

Come posso procedere? subito si capisce che il minimo globale della funzione è 0...

Ciao e benvenuto sul forum,
provo a ragionare con te: le funzioni in due variabili mi piacciono, soprattutto se devo pensare in maniera diversa dal solito. Ricorda però che ragiono con te e non è detto che le mie considerazioni siano sempre corrette. Detto ciò osservo che il radicando è sempre non negativo e quindi la funzione è definita in tutto $RR^2$, noto inoltre che la radice è 0 lungo la retta $y=2x$ e quindi non vedo un pozzo in corrispondenza dell'origine $O(0;0)$, ma una valle a quota $z=0$ in corrispondenza della retta $y=2x$. Osservo che la nostra funzione altrove sarà positiva, ma man mano che mi allontano dall'origine lungo circonferenze di raggio $rho=sqrt(x^2+y^2)$ sempre maggiore il termine $e^-(x^2+y^2)$ diventerà sempre più piccolo, quasi 0, cosicchè in periferia tenderò ad avere una quasi pianura. A questo punto mi devo concentrare per vedere cosa succede quadrante per quadrante intorno all'origine. Rifletti anche tu e confrontiamoci, a presto.

aleskandro

19 dic 2012, 12:25

"gio73":

Ciao e benvenuto sul forum,

Grazie mille.

Detto ciò osservo che il radicando è sempre non negativo e quindi la funzione è definita in tutto $RR^2$, noto inoltre che la radice è 0 lungo la retta $y=2x$ e quindi non vedo un pozzo in corrispondenza dell'origine $O(0;0)$, ma una valle a quota $z=0$ in corrispondenza della retta $y=2x$. Osservo che la nostra funzione altrove sarà positiva, ma man mano che mi allontano dall'origine lungo circonferenze di raggio $rho=sqrt(x^2+y^2)$ sempre maggiore il termine $e^-(x^2+y^2)$ diventerà sempre più piccolo, quasi 0, cosicchè in periferia tenderò ad avere una quasi pianura. A questo punto mi devo concentrare per vedere cosa succede quadrante per quadrante intorno all'origine. Rifletti anche tu e confrontiamoci, a presto.

Fino a qui ci siamo, inoltre, almeno un max deve esistere perchè di certo 1 è un maggiorante dell'immagine di f.

quindi
$ lim_(||(x,y)|| -> +oo) f(x,y) = 0 $
$ min {f(x,y) : (x,y) in R^2} = 2 $
$ p.ti di minimo = {(x,2x): x in R} $
ed esiste il max.

Come trovo il max e il p.to di max?

Zero87

19 dic 2012, 13:48

Benvenuto al forum e buona permanenza!

"gio73":
provo a ragionare con te: le funzioni in due variabili mi piacciono, soprattutto se devo pensare in maniera diversa dal solito. [...] Osservo che la nostra funzione altrove sarà positiva, ma man mano che mi allontano dall'origine lungo circonferenze di raggio $rho=sqrt(x^2+y^2)$ sempre maggiore il termine $e^-(x^2+y^2)$ diventerà sempre più piccolo, quasi 0, cosicchè in periferia tenderò ad avere una quasi pianura.

OT (sorry)[size=85]
Anche a me piaceva ragionare così, ma poi al compito di analisi II il prof mi ha detto in modo sibillino (e acido

) "l'analisi non si fa con le chiacchiere" contandomi zero punti lo studio di funzione in 2 variabili

... E il tutto perché avevo risolto in un modo simile al tuo (gio73 intendo): comunque non mi importa un emerito, anche ora penso che una spremuta alle meningi e pensare al grafico non è sbagliato come mi hanno fatto credere in passato...
... certo, formalizzazioni e rigore matematico sono sicuramente più corretti o, almeno, più accettati.[/size]
Fine OT

Torno all'esercizio. Le derivate sono parecchio scomode, esattissimo, però c'è pur sempre quel $e^(-(x^2 + y^2))$ che si raccoglie in tutte le equazioni e che si può togliere una volta posto $\nabla f =0$ a sistema dato che l'esponenziale non si annulla mai. Con un po' d'olio di gomito, considerando i due casi prescritti dal modulo, ci si arriva (credo) anche tramite calcoli.
Inoltre, per ragionare in modo alternativo (come sono d'accordo anche io ogni tanto), puoi pensare al fatto che l'esponenziale (funzione iniettiva nei reali) assume minimo/massimo in corrispondenza del minimo/massimo del suo esponente.

Cioè, prendiamo il caso $2x> y$ in modo che la radice sia $\sqrt(2x-y)$.
$f_x (x,y) = -2x\sqrt(2x-y) e^(-(x^2 + y^2 )) + 1/2 \cdot 2 \frac{e^(-(x^2 + y^2))}{\sqrt(2x-y)}$
Se la pongo uguale a zero (da fare anche con la $f_y$) ottengo (togliendo direttamente l'esponenziale che si mette in evidenza che tanto non si annulla)
$0= f_x (x,y) = -2x\sqrt(2x-y) + 1/2 \cdot 2 \frac{1}{\sqrt(2x-y)}$,
cioè
$-2x(2x-y)+1 =0$.
Perdonatemi se ho fatto errori di calcolo (probabili), ma ho moltiplicato per $\sqrt(2x-y)$ ambo i membri per giungere a quest'ultima conclusione che non mi sembra trascendentale. Una cosa simile credo che valga per $f_y$ (c'è da fare il sistema, io per ora mi sono limitato solo a $f_x =0$).
Poi c'è da rifare tutto per il caso $2x
Comunque, ovviamente, ho escluso il caso $2x-y=0$ per vari motivi.
- in quel caso la funzione non è derivabile (come si nota anche dalla $f_x$);
- come dice (giustamente) gio73 è tutta una "linea di minimo" poiché annulla la radice$^1$, quindi una volta che lo so, lascio perdere e passo oltre.

___
$^1$ Collegandomi al tuo secondo post c'è un teorema (non dirmi quale perché il nome non me lo ricordo) che dice che una funzione continua (e non identicamente nulla) in un intervallo assume massimo e minimo in esso. Vale anche per le funzioni a più variabili.

aleskandro

19 dic 2012, 14:30

"Zero87":
Benvenuto al forum e buona permanenza!

grazie anche a te.

OT (sorry)[size=85]
Anche a me piaceva ragionare così, ma poi al compito di analisi II il prof mi ha detto in modo sibillino (e acido ) "l'analisi non si fa con le chiacchiere" contandomi zero punti lo studio di funzione in 2 variabili ... E il tutto perché avevo risolto in un modo simile al tuo (gio73 intendo): comunque non mi importa un emerito, anche ora penso che una spremuta alle meningi e pensare al grafico non è sbagliato come mi hanno fatto credere in passato...
... certo, formalizzazioni e rigore matematico sono sicuramente più corretti o, almeno, più accettati.[/size]
Fine OT

Se non si prova, oltre che fare i calcoli e le considerazioni "teorico-analitiche", ad immaginare i grafici, i comportamenti delle funzioni che si studiano, per me non ha più senso fare analisi... Ok il rìgore, ma l'elasticità è fondamentale.

Torno all'esercizio. Le derivate sono parecchio scomode, esattissimo, però c'è pur sempre quel $e^(-(x^2 + y^2))$ che si raccoglie in tutte le equazioni e che si può togliere una volta posto $\nabla f =0$ a sistema dato che l'esponenziale non si annulla mai. Con un po' d'olio di gomito, considerando i due casi prescritti dal modulo, ci si arriva (credo) anche tramite calcoli.
Inoltre, per ragionare in modo alternativo (come sono d'accordo anche io ogni tanto), puoi pensare al fatto che l'esponenziale (funzione iniettiva nei reali) assume minimo/massimo in corrispondenza del minimo/massimo del suo esponente.

Cioè, prendiamo il caso $2x> y$ in modo che la radice sia $\sqrt(2x-y)$.
$f_x (x,y) = -2x\sqrt(2x-y) e^(-(x^2 + y^2 )) + 1/2 \cdot 2 \frac{e^(-(x^2 + y^2))}{\sqrt(2x-y)}$
Se la pongo uguale a zero (da fare anche con la $f_y$) ottengo (togliendo direttamente l'esponenziale che si mette in evidenza che tanto non si annulla)
$0= f_x (x,y) = -2x\sqrt(2x-y) + 1/2 \cdot 2 \frac{1}{\sqrt(2x-y)}$,
cioè
$-2x(2x-y)+1 =0$.
Perdonatemi se ho fatto errori di calcolo (probabili), ma ho moltiplicato per $\sqrt(2x-y)$ ambo i membri per giungere a quest'ultima conclusione che non mi sembra trascendentale. Una cosa simile credo che valga per $f_y$ (c'è da fare il sistema, io per ora mi sono limitato solo a $f_x =0$).
Poi c'è da rifare tutto per il caso $2x

Mi incartavo da qualche parte mentre provavo a risolvere il sistema, più tardi verificherò meglio l'esercizio.

___
$^1$ Collegandomi al tuo secondo post c'è un teorema (non dirmi quale perché il nome non me lo ricordo) che dice che una funzione continua (e non identicamente nulla) in un intervallo assume massimo e minimo in esso. Vale anche per le funzioni a più variabili.

Se ho capito a cosa ti riferisci, è il teorema di Weierstrass, che però per ipotesi considera che l'insieme dato sia chiuso e limitato.

gio73

19 dic 2012, 17:29

Ciao Zero87,
tempo fa chiesi ad un prof di analisi se il mio modo di studiare le funzioni in 2 variabili fosse accettabile, lui mi rispose assai urbanamente ma il concetto era identico a quello del tuo prof: "non si risponde con le chiacchere".

Detto ciò ricomincio a chiacchierare, poi mi dite.
Allora ho cominciato a pensare alle due funzioni $g(x;y)=e^-(x^2+y^2)$ e $h(x;y)=sqrt(|2x-y|)$ separatamente. La prima hga un massimo in $O(0;0)$, dove vale 1 e poi decresce via via che ci allontaniamo dall'origine, le sue curve di livello sono delle circonferenze, maggiore è la distanza dall'origine più è bassa la quota, ma il valore della funzione è sempre positivo. La seconda invece è una sorta di valle col minimo a quota 0 lungo la retta $y=2x$, le curve di livello sono rette parallele alla precedente la cui quota aumenta aumentando la distanza dall'origine.
Se componiamo questi due grafici avremo il prodotto tra un fattore che diventa sempre più piccolo allontanandoci dall'origine secondo cerchi concentrici g e un fattore sempre più grande h ma che aumenta ad un ritmo inferiore rispetto a quanto diminuisce g. Allora ho pensato che i miei due massimi li potrei trovare lungo una la retta passante per l'origine e perpendicolare alla valle (lungo la linea di massima pendenza della valle, per intenderci), cioè $y=-1/2x$, svolgo i conti e trovo come punti di massimo $M(+1/(sqrt5); -1/(2sqrt5))$ e $M'(-1/sqrt5; +1/(2sqrt5))$, dove la funzione dovrebbe valere circa $0,14$.

Potrei aver preso una cantonate enorme, nel caso fatemelo sapere!

Zero87

19 dic 2012, 17:54

"gio73":
Ciao Zero87,
tempo fa chiesi ad un prof di analisi se il mio modo di studiare le funzioni in 2 variabili fosse accettabile, lui mi rispose assai urbanamente ma il concetto era identico a quello del tuo prof: "non si risponde con le chiacchere".

La faccio breve perché ultimamente sto prendendo la brutta piega degli OT (casomai si può aprire una discussione sul generale se non resta "solo" una cosa tra noi, no?).

Spero che non hai frainteso perché, se rileggi il mio post precedente, capisci che la penso più come te che come i prof di analisi II.
Ora, mettiamo le cose in chiaro, è giusto - e nessuno lo mette in dubbio - che in matematica contano i fatti e che bisogna essere rigorosi. Però secondo me (e, decisamente, anche secondo te da come ho visto in questo post e in un altro dove parlavi della risoluzione grafica di un'equazione o una cosa simile... ricordo solo che "ci" ha risposto gugo82), non si può solo campare di formalismi anche perché se c'è una cosa che mi ha consentito di andare avanti con l'università essa è l'elasticità mentale e l'astrattismo (quindi anche "immaginare" paesaggi di funzioni in 2 variabili).

Finendo con l'OT (cercando di lasciar perdere gli OT! oggi ne ho fatti almeno 3-4!), il tuo ragionamento è interessante e per questa funzione mi sembra che giri, però secondo me (dico in un caso generale) potrebbe avere delle falle.
Cioè, la mia perplessità è che l'esponenziale che diventa più piccolo non esclude automaticamente un massimo locale, cioè non so se mi sono spiegato...

EDIT. A me non viene $0,14$ ma viene, tipo, qualcosa come $0,80$ o una cosa così...

vict85

19 dic 2012, 18:42

Vedo se riesco a risolverlo con un metodo un po' diverso, anche perché sono un po' arrugginito con questo cose. Spero di non dire cavolate.

Per il momento escludo il punto $(0,0) $ e considero $\mathbb{R}^2 = S^1 \times \mathbb{R}^+ $. Il cambio di variabili è continuo, anzi differenziabile, e quindi non cambia i massimi e i minimi (tranne lo 0 che andrebbe calcolato a parte).

Con questa nuova parametrizzazione ho che $f(r,\vartheta) = \sqrt{r}\sqrt{\lvert 2\cos \vartheta - \sin\vartheta \rvert}e^{-r^2} $. La funzione f si separa quindi in una componente dipendente solo da $r $ e una dipendente solo da $\vartheta $.

La funzione $h(r) = \sqrt{r}e^{-r^2} $ è una funzione strettamente positiva. Che tende a 0 agli estremi del dominio (che non sono considerati interni al dominio). $\displaystyle h'(r) = \frac{e^{-r^2}}{2\sqrt{r}} - 2r\sqrt{r}e^{-r^2} $. Se ne deduce che c'é un massimo in $\displaystyle r^2 = \frac{1}{4} $ cioé in $\displaystyle r = \frac{1}{2} $. Inoltre non ha minimi globali. Il fatto che sia un massimo è evidente dai limiti e del fatto che è strettamente positiva. Ma se qualcuno ha voglia può calcolarsi la derivata seconda.

La funzione $g(\vartheta) = \sqrt{\lvert 2\cos \vartheta - \sin\vartheta \rvert} $ è strettamente positiva. Inoltre ha sicuramente massimi e minimi globali in quanto è definita su un compatto. I minimi sono ovvi e si hanno quando $\displaystyle g(\vartheta) = 0 $, cioé per $\displaystyle cos\vartheta = \frac12 sin\vartheta $. In altre parole sulla retta che avevamo già considerato

.
$\displaystyle g'(\vartheta) = -\frac{2\sin\vartheta + \cos\vartheta}{2\sqrt{2\cos \vartheta - \sin\vartheta}} $ per $\displaystyle 2\cos \vartheta - \sin\vartheta>0 $ e $\displaystyle g'(\vartheta) = \frac{2\sin\vartheta + \cos\vartheta}{2\sqrt{-2\cos \vartheta + \sin\vartheta}} $ per $\displaystyle 2\cos \vartheta - \sin\vartheta<0 $. Il massimo si trova quindi nei due angoli in cui $\displaystyle 2\sin\vartheta = -cos\vartheta $. In altre parole sulla retta $\displaystyle y = -\frac12 x $ (in altre parole sulla retta perpendicolare a quella di minimo).

Il massimo di un prodotto di funzioni ‘indipendenti’ si ha nel massimo di entrambe, stesse cose per il minimo. La funzione ha quindi due massimi locali nei punto, della retta $\displaystyle y = -\frac12 x $, che distano $\displaystyle \frac12 $ dall'origine. La funzione non ha invece minimi locali, ma ha una retta di minimo nella retta $\displaystyle y = 2x $.

L'analisi dell'origine deriva dalla non-negatività della funzione e il fatto che è sulla retta $\displaystyle y = 2x $. Anche perché in quel punto la funzione non è derivabile.

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