Max Min Funzione 2 variabili
Salve.
Sto svolgendo questo esercizio sullo studio di funzione:
\[ f(x,y) = (x^2+y-1)^2 \] nel dominio \[ E = (x,y) \in R^2 : x^2+y^2 \leq 1 \].
La funzione è continua su tutto R^2, derivabile e differenziabile in quanto le derivate risultano essere continue.
Per i punti stazionari nel dominio (punti di max e min relativo) non sono riuscito a trovare neanche un punto.
Mentre per i max e min assoluti ( punti stazionari sulla frontiera del dominio) ho un po di difficoltà, nel senso che ho parametrizzato la circonferenza come segue:
\[ \gamma : (cos\theta, sin\theta) \] poi ho sostituito nella mia funzione ottenendo:
\[ f(\gamma) = (cos^2\theta + sin\theta -1)^2 = cos^4\theta+sin^2\theta+1+2cos^2\theta sin\theta-2cos^2\theta-2sin\theta \] Ora derivo la mia funzione ponendola uguale a zero:
\[ -4cos^3\theta sin\theta+2sin\theta cos\theta -4cos\theta sin^2\theta +2 cos^3\theta +4cos\theta sin\theta -2 cos\theta =0 \]
Da qui in poi ho difficoltà a proseguire. Ho provato a raccogliere:
\[ cos^3\theta ( -4sin\theta +2) +2 sin\theta cos\theta (3-2sin\theta)-2cos\theta =0 \]
Consigli??!
Grazie a tutti!!
Sto svolgendo questo esercizio sullo studio di funzione:
\[ f(x,y) = (x^2+y-1)^2 \] nel dominio \[ E = (x,y) \in R^2 : x^2+y^2 \leq 1 \].
La funzione è continua su tutto R^2, derivabile e differenziabile in quanto le derivate risultano essere continue.
Per i punti stazionari nel dominio (punti di max e min relativo) non sono riuscito a trovare neanche un punto.
Mentre per i max e min assoluti ( punti stazionari sulla frontiera del dominio) ho un po di difficoltà, nel senso che ho parametrizzato la circonferenza come segue:
\[ \gamma : (cos\theta, sin\theta) \] poi ho sostituito nella mia funzione ottenendo:
\[ f(\gamma) = (cos^2\theta + sin\theta -1)^2 = cos^4\theta+sin^2\theta+1+2cos^2\theta sin\theta-2cos^2\theta-2sin\theta \] Ora derivo la mia funzione ponendola uguale a zero:
\[ -4cos^3\theta sin\theta+2sin\theta cos\theta -4cos\theta sin^2\theta +2 cos^3\theta +4cos\theta sin\theta -2 cos\theta =0 \]
Da qui in poi ho difficoltà a proseguire. Ho provato a raccogliere:
\[ cos^3\theta ( -4sin\theta +2) +2 sin\theta cos\theta (3-2sin\theta)-2cos\theta =0 \]
Consigli??!
Grazie a tutti!!
Risposte
Ciao Dr.Hermann,
Scusa, ma non ti conviene di più sostituire $x^2 = 1 - y^2 $ nell'espressione di $f(x, y) $?
Scusa, ma non ti conviene di più sostituire $x^2 = 1 - y^2 $ nell'espressione di $f(x, y) $?
Ciao Pilloeffe! Grazie come sempre per avermi risposto.
Cosi facendo la funzione si annulla, cioè avrei \begin{cases}
z= 0 \\
x^2=1-y \\
\end{cases}
Probabilmente non ho capito cosa intendi..
Cosi facendo la funzione si annulla, cioè avrei \begin{cases}
z= 0 \\
x^2=1-y \\
\end{cases}
Probabilmente non ho capito cosa intendi..
"Dr.Hermann":
Grazie come sempre per avermi risposto.
Prego!
"Dr.Hermann":
Cosi facendo la funzione si annulla
Perché? Se sostituisci $x^2 = 1 - y^2 $ nella funzione $z = f(x, y) = (x^2 + y - 1)^2 $ si ha:
$ z(y) = (1 - y^2 + y - 1)^2 = (y - y^2)^2 = y^2 (1 - y)^2 $
Hai ragione, perdonami. Ho letto male, infatti anche sopra ho scritto \[ x^2=1-y \] invece di \[ x^2=1-y^2 \]
Con la corretta sostituzione ottengo 5 punti se non sbaglio: \[ P0=(1,0), P1=(-1,0), P2=(0,1), P3=(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}), P4=(\frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \]
Ora devo sostituire nella funzione per ottenere il max e min assoluto? Giusto?
Con la corretta sostituzione ottengo 5 punti se non sbaglio: \[ P0=(1,0), P1=(-1,0), P2=(0,1), P3=(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}), P4=(\frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \]
Ora devo sostituire nella funzione per ottenere il max e min assoluto? Giusto?
Se i punti fossero corretti otterrei 3 punti di minimo assoluto con valore zero e due punti di massimo con valore 1/16
Beh si ha:
$ z(y) >= 0 $
dove l'uguaglianza, cioè i due punti di minimo, si hanno per $ y = 0 $ e per $y = 1 $; poi c'è un punto di massimo per $y = 1/2 $ e si ha $z(1/2) = 1/16 $. Da qui poi si deducono tutti i corrispondenti valori della $x$ e quindi i punti $P_i $ che hai scritto.
$ z(y) >= 0 $
dove l'uguaglianza, cioè i due punti di minimo, si hanno per $ y = 0 $ e per $y = 1 $; poi c'è un punto di massimo per $y = 1/2 $ e si ha $z(1/2) = 1/16 $. Da qui poi si deducono tutti i corrispondenti valori della $x$ e quindi i punti $P_i $ che hai scritto.
Perfetto allora ho capito bene. Grazie ancora,sempre gentilissimo!!!
Ciao
A me nn piacciono i calcoloni...
Non ho letto tutto, ma nelle conclusioni trovo che il massimo vale $1/16$
Mi stavo chiedendo, il punto $(0; - 1)$ appartiene al dominio e il valore Della funzione lì è $f(0; - 1)=(0-1-1)^2=(-2)^2=4$
Sto prendendo uno svarione?
A me nn piacciono i calcoloni...
Non ho letto tutto, ma nelle conclusioni trovo che il massimo vale $1/16$
Mi stavo chiedendo, il punto $(0; - 1)$ appartiene al dominio e il valore Della funzione lì è $f(0; - 1)=(0-1-1)^2=(-2)^2=4$
Sto prendendo uno svarione?
Ciao!
Beh il punto \[(0,-1)\] appartiene si al dominio ed è un punto della frontiera, quindi penso che si possa considerare un massimo assoluto. O al meno credo..
Beh il punto \[(0,-1)\] appartiene si al dominio ed è un punto della frontiera, quindi penso che si possa considerare un massimo assoluto. O al meno credo..
Io sono d'accordo con gio73, il massimo assoluto è $4$ e viene assunto proprio in $(0,-1)$. Nel momento in cui si considera la restrizione $x^2=1-y^2$, la derivata si studia nell'aperto $(-1,1)$ e quindi gli estremi $y=-1$ e $y=1$ vanno poi studiati a parte (le derivate si fanno negli aperti). Secondo me è questo il motivo per cui non emerge il punto di massimo corrispondente all'ordinata $y=-1$ dal calcolo differenziale, le derivate danno informazioni sui punti stazionari interni.
"pilloeffe":
Scusa, ma non ti conviene di più sostituire $x^2 = 1 - y^2 $ nell'espressione di $f(x, y) $?
C'è qualcosa che non mi quadra, se non prendo fischi per fiaschi.
Con la sostituzione sopra suggerita da pilloeffe stiamo cercando i massimi e i minimi della funzione $f(x,y)$ sul bordo del dominio $E$.[nota]E' uno dei modi standard di cercare massimi e mininmi sul bordo, quando non è possibile si usano i moltiplicatori di Lagrange[/nota]
Facendo la sostituzione abbiamo la funzione $z(y)$ scritta da piloeffe:
$z(y)= y^2(1-y)^2$.
Questa è una funzione di una sola variabile definita su tutto $ mathbb(R) $, che ha massimi e minimi relativi in $0$, $1$ e $1/2$ rispettivamente.
Massimi assoluti non ne vedo, dato che la $z$ è, ad esempio, sempre crescente per $y>1$ (va a $+oo$ per $y rightarrow +-oo$).
Quindi non vedo massimi assoluti sul bordo, neanche $4$.
Be', in effetti però bisogna restringersi a (-1,1).
La confusione mi veniva dal fatto che stiamo scrivendo $x^2=1-y^2$, non abbiamo esplicitato la funzione rispetto alla $x$.
La confusione mi veniva dal fatto che stiamo scrivendo $x^2=1-y^2$, non abbiamo esplicitato la funzione rispetto alla $x$.
Sì, dovrebbe venire dalle classiche limitazioni sulla circonferenza: da $x^2+y^2=1 \implies y^2 \le 1 \iff -1 \le y \le 1$, perciò nel momento in cui sostituiamo $x^2=1-y^2$ dobbiamo tenere conto del fatto che $y$ non può assumere ogni valore reale ma deve essere $1-y^2 \ge 0$ (in quanto eguagliata a una quantità non negativa). Quindi, dovrebbe essere qualcosa del tipo
$$(x^2+y-1)^2 \wedge (x^2+y^2=1) \implies (x^2+y-1)^2 \wedge [(x^2=1-y^2)\wedge(-1 \le y \le 1)]$$
$$\implies [y^2(1-y)^2 \wedge (-1 \le y \le 1)]$$
Ma potrei aver scritto qualche scemenza dal punto di vista logico, non ho mai studiato per bene queste cose.
$$(x^2+y-1)^2 \wedge (x^2+y^2=1) \implies (x^2+y-1)^2 \wedge [(x^2=1-y^2)\wedge(-1 \le y \le 1)]$$
$$\implies [y^2(1-y)^2 \wedge (-1 \le y \le 1)]$$
Ma potrei aver scritto qualche scemenza dal punto di vista logico, non ho mai studiato per bene queste cose.
Grazie della risposta, Mephlip, solo che hai dimenticato i delimitatori intorno alle formule e non le leggo.
Ti spiego perché, credo, mi ero incasinata, così puoi dirmi se sei d'accordo.
Sì, la limitazione viene indubbiamente dalla circonferenza.
Ma io pensavo al fatto che quando si fa una massimizzazione vincolata, in due variabli nel nostro caso, un metodo è quello di esplicitare, se possibile, il vincolo in termini di una variabile e sostituire nella funzione obiettivo.
E qui ci va di mezzo il teorema delle funzioni implicite.
Nel nostro caso avremmo dovuto esplicitare così (per vedere max e min sul bordo del dominio):
$x^2+ y^2= 1 rightarrow x=+- sqrt(1-y^2)$, da cui ricaviamo che $y$ deve appartenere a $[-1,1]$.
Qui, in effetti, la circonferenza non si può espicitare, se non 'a pezzi', la parte di sopra e la parte di sotto, perché non sono rispettate le condizioni del teorema delle funzioni implicite. Quindi ci ritroviamo due funzioni esplicitate, $x=+sqrt(1-y^2)$, e $x=-sqrt(1-y^2)$, e quindi, in casi normali che facciamo? Quale prendiamo?
Quando la funzione implicita-vincolo non si può esplicitare dobbiamo ricorrere ai moltiplicatori di Lagrange.
(Oppure si può fare due volte la sostituzione risolvendo due problemi separati, una per il pezzo di sopra e una per il pezzo di sotto della circonferenza? E' la prima volta che me lo chiedo, penso di sì, si guarda il bordo un pezzo alla volta).
Nel nostro caso, invece, credo, il problema non si pone perché nella funzione obiettivo abbiamo solo $x^2$, non $x$, e quindi sostituiamo $x^2$ e via. Così di fatto è come coprissimo entrambi i casi, con il $+$ e con il $-$.
Almeno è quello che mi racconto per far quadrare con la teoria.
Insomma, erano elucubrazioni non tanto sulla correttezza dei calcoli , ma a come si connetteva con la teoria.
Mi devo andare riguardare la dimostrazione dei moltiplicatori di Lagrange, che viene dal teorema delle funzioni implicite, ma non me la ricordo.
Ti spiego perché, credo, mi ero incasinata, così puoi dirmi se sei d'accordo.
Sì, la limitazione viene indubbiamente dalla circonferenza.
Ma io pensavo al fatto che quando si fa una massimizzazione vincolata, in due variabli nel nostro caso, un metodo è quello di esplicitare, se possibile, il vincolo in termini di una variabile e sostituire nella funzione obiettivo.
E qui ci va di mezzo il teorema delle funzioni implicite.
Nel nostro caso avremmo dovuto esplicitare così (per vedere max e min sul bordo del dominio):
$x^2+ y^2= 1 rightarrow x=+- sqrt(1-y^2)$, da cui ricaviamo che $y$ deve appartenere a $[-1,1]$.
Qui, in effetti, la circonferenza non si può espicitare, se non 'a pezzi', la parte di sopra e la parte di sotto, perché non sono rispettate le condizioni del teorema delle funzioni implicite. Quindi ci ritroviamo due funzioni esplicitate, $x=+sqrt(1-y^2)$, e $x=-sqrt(1-y^2)$, e quindi, in casi normali che facciamo? Quale prendiamo?
Quando la funzione implicita-vincolo non si può esplicitare dobbiamo ricorrere ai moltiplicatori di Lagrange.
(Oppure si può fare due volte la sostituzione risolvendo due problemi separati, una per il pezzo di sopra e una per il pezzo di sotto della circonferenza? E' la prima volta che me lo chiedo, penso di sì, si guarda il bordo un pezzo alla volta).
Nel nostro caso, invece, credo, il problema non si pone perché nella funzione obiettivo abbiamo solo $x^2$, non $x$, e quindi sostituiamo $x^2$ e via. Così di fatto è come coprissimo entrambi i casi, con il $+$ e con il $-$.
Almeno è quello che mi racconto per far quadrare con la teoria.
Insomma, erano elucubrazioni non tanto sulla correttezza dei calcoli , ma a come si connetteva con la teoria.
Mi devo andare riguardare la dimostrazione dei moltiplicatori di Lagrange, che viene dal teorema delle funzioni implicite, ma non me la ricordo.
Ah ecco ora leggo il tuo messaggio con le formule. Le ho capite, ok.
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