Max Min Frontiera
Ciao a tutti!
Sto studiando i massimi e minimi sulla frontiera $∂E$ della seguente funzione:
$ f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2+2 $
sul dominio $E={(x,y)\in R^2 | x^4+y^4<=18}$
Ho trovato che $Po=(0,0)$ è un punto di sella, mentre $P_1=(\sqrt(2), -\sqrt(2)) $ e $ P_2=(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ sono rispettivamente di minimo locale.
Sulla frontiera ho provato con i moltiplicatori e la parametrizzazione ma mi vengono fuori conti lunghissimi e senza senso. Potresti aiutarmi?
Grazie
Sto studiando i massimi e minimi sulla frontiera $∂E$ della seguente funzione:
$ f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2+2 $
sul dominio $E={(x,y)\in R^2 | x^4+y^4<=18}$
Ho trovato che $Po=(0,0)$ è un punto di sella, mentre $P_1=(\sqrt(2), -\sqrt(2)) $ e $ P_2=(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ sono rispettivamente di minimo locale.
Sulla frontiera ho provato con i moltiplicatori e la parametrizzazione ma mi vengono fuori conti lunghissimi e senza senso. Potresti aiutarmi?
Grazie
Risposte
Proviamo a ragionare?
Per ottenere un massimo dobbiamo fare in modo che $x-y$ sia 0, sei d accordo?
Quindi $x=y$
Combiniamo questa informazione con $x^4+y^4=18$
Per ottenere un massimo dobbiamo fare in modo che $x-y$ sia 0, sei d accordo?
Quindi $x=y$
Combiniamo questa informazione con $x^4+y^4=18$
Per ottenere un massimo dobbiamo fare in modo che $x-y$ sia 0, sei d accordo?
Non ti seguo perdonami..In che senso?
Aspetta forse ho capito..
$x^4+y^4=18$ sulla frontiera
Per stare più in alto che si può dobbiamo fare in modo di non togliere niente
$-2(x-y)^2$ sicuramente è non positivo, visto che è fatto dalla moltiplicazione di un numero negativo $-2$ e di un quadrato $(x-y) ^2$ che è sempre positivo o al massimo 0 se la base $(x-y) $ è 0
Quindi come vogliamo che sia $(x-y) $?
Per stare più in alto che si può dobbiamo fare in modo di non togliere niente
$-2(x-y)^2$ sicuramente è non positivo, visto che è fatto dalla moltiplicazione di un numero negativo $-2$ e di un quadrato $(x-y) ^2$ che è sempre positivo o al massimo 0 se la base $(x-y) $ è 0
Quindi come vogliamo che sia $(x-y) $?
Ah ok si. Ora ho capito il tuo ragionamento. Cosi è molto più immediato sicuramente.
Stavo rivedendo ora con i moltiplicatori e mi viene alla fine un sistema cosi fatto:
\begin{cases}
(x^3+y^3)(x-y)=0 \\
x^4+y^4-18=0 \\
\end{cases}
Quindi per:
\begin{cases}
(x-y)=0 \\
x^4+y^4-18=0 \\
\end{cases}
Viene esattamente come te ovvero: $P_1=(sqrt(3),sqrt(3))$ e $ P_2=(-sqrt(3),-sqrt(3))$
Poi ho anche:
\begin{cases}
(x^3+y^3)=0 \\
x^4+y^4-18=0 \\
\end{cases}
Che mi darebbero: $P_3=(-sqrt(3),sqrt(3)) $ e $ P_4=(sqrt(3),-sqrt(3)) $
Stavo rivedendo ora con i moltiplicatori e mi viene alla fine un sistema cosi fatto:
\begin{cases}
(x^3+y^3)(x-y)=0 \\
x^4+y^4-18=0 \\
\end{cases}
Quindi per:
\begin{cases}
(x-y)=0 \\
x^4+y^4-18=0 \\
\end{cases}
Viene esattamente come te ovvero: $P_1=(sqrt(3),sqrt(3))$ e $ P_2=(-sqrt(3),-sqrt(3))$
Poi ho anche:
\begin{cases}
(x^3+y^3)=0 \\
x^4+y^4-18=0 \\
\end{cases}
Che mi darebbero: $P_3=(-sqrt(3),sqrt(3)) $ e $ P_4=(sqrt(3),-sqrt(3)) $
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