MAX & MIN

[*Giorgy14]

Come faccio a calcolare il Max e il Min (assoluti) di
f(x,y)= xy
sull'insieme [(x,y) di R^2: x^2 + y^2 uguale 0] ?????

HELP HELP!!!!!

[Piera4]

calcola le derivate parziali e trova gli eventuali punti stazionari
della funzione e assicurati che appartengano all'insieme scritto
poi considera la funzione sulla frontiera dell'insieme che è
1)la retta x=0 ,2) la semicirconferenza x= radice(1-y^2),
su 1) la funzione diventa f(0,y)=0 quindi è costante
su 2) f(radice(1-y^2),y)=radice(1-y^2)*y con -1<=y <=1
questa è una funzione di una variabile,derivala e trova i max e min
a questo punto confronta tutti valori trovati, il piu grande
sarà il max. assoluto e il piu piccolo il min. ass.
Alternativamente sulla frontiera potevi utilizzare i moltiplicatori
di lagrange, però ritengo che il procedimento migliore sia quello
che ho appena descritto.

[ale712]

ciao piera,
puoi postare un semplice esempio che utilizzi i moltiplicatori di lagrange?? grazie
ale7

[Piera4]

trovare massimo e minimo assoluto della funzione
f(x,y)=2x^2-3y^2-2x sulla circonferenza x^2 + y^2 =1
i moltiplicatori di lagrange danno luogo al
seguente sistema
4x-2+2*lamda*x=0
-6y+2*lamda*y=0
x^2 + y^2 =1

che risolto dà 4 soluzioni (max. ass.=4 min. ass.=-16/5)
l'altro metodo era molto piu veloce.

[Piera4]

adesso che ho più tempo, scrivo qualche valore.
risolvendo il sistema si ottiene
per lamda=3 (1/5,radice(24/25)) , (1/5, -radice(24/25))
per lamda=-1 (1,0)
per lamda=-3 (-1,0)
calcolando la funzione nei 4 punti
si ha f(-1,0)=4 f(1,0)=0 f(1/5,+- radice(24/25))=-16/25
da cui segue quello che ho detto nel precedente post
(naturalmente il massimo e il minimo assoluto esistono
in virtù del teorema di weierstrass)

[ale712]

grazie Piera!
ale7