Max e min vincolati per funzione a 3 variabili
Salve a tutti,
avrei da risolvere il seguente problema:
Dati $A={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+xy+y^2+z^2<=1}$, ed $F:A\rightarrow\mathbb{R}$, $F(x,y,z)=xyz$, determinare $F(A)$.
Siccome $A$ è un compatto di $RR^3$, $F(A)$ sarà un intervallo di $RR$. Dunque devo solo calcolare massimi e minimi assoluti di F su A.
Per quanto riguarda i punti interni ad A, annullo il gradiente di F per trovare punti critici, e trovo che questi sono della forma (x,0,0), (0,y,0), oppure (0,0,z). Guardando poi l'hessiana trovo che in realtà non sono estremanti.
Passo quindi alla frontiera di A, che è una 2-varietà. Ho pensato di usare i moltiplicatori di Lagrange, mi ritrovo questo sistema:
$\{(\grad(xyz-\lambda(x^2+xy+y^2+z^2-1))=0),(x^2+xy+y^2+z^2-1=0):}$, cioè: $\{(yz-(2lambdax+lambday)=0), (xz-(lambdax+2lambday)=0),(xy-2lambdaz=0),(x^2+xy+y^2+z^2-1=0):}$.
Fino ad ora è giusto il ragionamento? Come faccio ad andare avanti, e trovare soluzioni al sistema? Mi rendo conto che questo non è esattamente un problema di analisi, ma d'altro canto non credo di aver ben chiaro il significato dei moltiplicatori di Lagrange, quindi posto qua sperando in un'illuminazione
Grazie in anticipo per ogni aiuto
avrei da risolvere il seguente problema:
Dati $A={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+xy+y^2+z^2<=1}$, ed $F:A\rightarrow\mathbb{R}$, $F(x,y,z)=xyz$, determinare $F(A)$.
Siccome $A$ è un compatto di $RR^3$, $F(A)$ sarà un intervallo di $RR$. Dunque devo solo calcolare massimi e minimi assoluti di F su A.
Per quanto riguarda i punti interni ad A, annullo il gradiente di F per trovare punti critici, e trovo che questi sono della forma (x,0,0), (0,y,0), oppure (0,0,z). Guardando poi l'hessiana trovo che in realtà non sono estremanti.
Passo quindi alla frontiera di A, che è una 2-varietà. Ho pensato di usare i moltiplicatori di Lagrange, mi ritrovo questo sistema:
$\{(\grad(xyz-\lambda(x^2+xy+y^2+z^2-1))=0),(x^2+xy+y^2+z^2-1=0):}$, cioè: $\{(yz-(2lambdax+lambday)=0), (xz-(lambdax+2lambday)=0),(xy-2lambdaz=0),(x^2+xy+y^2+z^2-1=0):}$.
Fino ad ora è giusto il ragionamento? Come faccio ad andare avanti, e trovare soluzioni al sistema? Mi rendo conto che questo non è esattamente un problema di analisi, ma d'altro canto non credo di aver ben chiaro il significato dei moltiplicatori di Lagrange, quindi posto qua sperando in un'illuminazione
Grazie in anticipo per ogni aiuto
Risposte
dopo un paio di giorni passati a guardare in cagnesco il sistema, ho pensato a questo:
posso riscrivere il sistema come
${(y(z-lambda)-2lambdax=0),(x(z-lambda)-2lambday=0),(xy-2lambdaz),(x^2+xy+y^2+z^2-1=0):}$.
Dalle prime due equazioni ricavo in particolare
$y(z-lambda)-2lambdax=x(z-lambda)-2lambday$ e quindi
$(y-x)(z-lambda)+2lambda(y-x)=0\Rightarrow(y-x)(z+lambda)=0$
L'ultima uguaglianza è vera sse $x=y$ (caso 1) oppure $z=-lambda$ (caso 2).
Caso 1:
Riscrivo il sistema con $x=y$; rimane:
${(yz-3lambday=0),(y^2-2lambdaz=0),(3y^2+z^2-1=0):}$
Dalla prima equazione ho $y(z-3lambda)=0hArry=0vvz=3lambda$
Se $y=0$, sostituendo nelle altre equazioni trovo la soluzione nulla.
Se $z=3lambda$, mi rimane il sistema ${(3y^2+9lambda^2-1=0),(y^2-6lambda^2=0):}hArry=+-lambdasqrt(6)$, poi sostituisco e trovo $lambda$
In poche parole, ho $(x,y,z)$ in funzione di $lambda$, che in questo primo caso è $lambda=+-1/(3sqrt(3))$.
In corrispondenza trovo 4 punti che non sto a scrivere per non farla lunga, ho verificato e stanno in effetti su A
Caso 2:
Analogamente, risolvo il sistema ottenuto sostituendo $z=-lambda$. Trovo di nuovo (x,y,z) in funzione di $lambda=+-1/sqrt(3)$, e 4 punti in corrispondenza di questi due valori. Calcolo le immagini di tutti questi punti, e trovo max e min (io ho trovato $F(A)=[-2/(3sqrt()3),2/(3sqrt()3)]$).
Ha senso tutto ciò? Mi sto dimenticando qualche punto facendo la considerazione iniziale $y(z-lambda)-2lambdax=x(z-lambda)-2lambday$ ?
Mi farebbe un sacco di piacere ricevere una risposta, un parere, anche solo "hai sbagliato tutto"!!! scusate l'insistenza ragazzi e grazie in anticipo cmq
posso riscrivere il sistema come
${(y(z-lambda)-2lambdax=0),(x(z-lambda)-2lambday=0),(xy-2lambdaz),(x^2+xy+y^2+z^2-1=0):}$.
Dalle prime due equazioni ricavo in particolare
$y(z-lambda)-2lambdax=x(z-lambda)-2lambday$ e quindi
$(y-x)(z-lambda)+2lambda(y-x)=0\Rightarrow(y-x)(z+lambda)=0$
L'ultima uguaglianza è vera sse $x=y$ (caso 1) oppure $z=-lambda$ (caso 2).
Caso 1:
Riscrivo il sistema con $x=y$; rimane:
${(yz-3lambday=0),(y^2-2lambdaz=0),(3y^2+z^2-1=0):}$
Dalla prima equazione ho $y(z-3lambda)=0hArry=0vvz=3lambda$
Se $y=0$, sostituendo nelle altre equazioni trovo la soluzione nulla.
Se $z=3lambda$, mi rimane il sistema ${(3y^2+9lambda^2-1=0),(y^2-6lambda^2=0):}hArry=+-lambdasqrt(6)$, poi sostituisco e trovo $lambda$
In poche parole, ho $(x,y,z)$ in funzione di $lambda$, che in questo primo caso è $lambda=+-1/(3sqrt(3))$.
In corrispondenza trovo 4 punti che non sto a scrivere per non farla lunga, ho verificato e stanno in effetti su A
Caso 2:
Analogamente, risolvo il sistema ottenuto sostituendo $z=-lambda$. Trovo di nuovo (x,y,z) in funzione di $lambda=+-1/sqrt(3)$, e 4 punti in corrispondenza di questi due valori. Calcolo le immagini di tutti questi punti, e trovo max e min (io ho trovato $F(A)=[-2/(3sqrt()3),2/(3sqrt()3)]$).
Ha senso tutto ciò? Mi sto dimenticando qualche punto facendo la considerazione iniziale $y(z-lambda)-2lambdax=x(z-lambda)-2lambday$ ?
Mi farebbe un sacco di piacere ricevere una risposta, un parere, anche solo "hai sbagliato tutto"!!! scusate l'insistenza ragazzi e grazie in anticipo cmq
No, ma che sbagliato tutto? Direi invece che hai fatto tutto bene. Brava!
In sostanza trovi 8 punti estremi, 4 minimi e 4 massimi.
Ogni punto è su un ottante diverso (l'ottante è l'equivalente tridimensionale del quadrante del piano xy), e gli estremi sono a 2 a 2 simmetrici rispetto all'origine.
Il sistema che viene fuori in questi casi è spesso angosciante, però bisogna cercare di attaccarlo in qualche modo.
Quello che bisognerebbe vedere è che ci sono delle simmetrie evidenti, per cui ad esempio:
[tex]\left\{\begin{matrix}
yz-(2 \lambda x + \lambda y) = 0
\\
xz-(\lambda x + 2\lambda y) = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
Moltiplico la prima per x e la seconda per y
[tex]\left\{\begin{matrix}
xyz-(2 \lambda x^2 + \lambda xy) = 0
\\
xyz-(\lambda xy + 2\lambda y^2) = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
Le sottraggo, ottengo
$\lambda(x^2-y^2) = 0$
da cui $y=\pm x$, $\lambda = 0$
e quindi tutto si semplifica molto.
Occhio solo ai punti di sella, quelli che vengono con $\lambda = 0$, forse non li hai visti, sono tutti sugli assi.
Quelli ovviamente non vanno contati.
In sostanza trovi 8 punti estremi, 4 minimi e 4 massimi.
Ogni punto è su un ottante diverso (l'ottante è l'equivalente tridimensionale del quadrante del piano xy), e gli estremi sono a 2 a 2 simmetrici rispetto all'origine.
Il sistema che viene fuori in questi casi è spesso angosciante, però bisogna cercare di attaccarlo in qualche modo.
Quello che bisognerebbe vedere è che ci sono delle simmetrie evidenti, per cui ad esempio:
[tex]\left\{\begin{matrix}
yz-(2 \lambda x + \lambda y) = 0
\\
xz-(\lambda x + 2\lambda y) = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
Moltiplico la prima per x e la seconda per y
[tex]\left\{\begin{matrix}
xyz-(2 \lambda x^2 + \lambda xy) = 0
\\
xyz-(\lambda xy + 2\lambda y^2) = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
Le sottraggo, ottengo
$\lambda(x^2-y^2) = 0$
da cui $y=\pm x$, $\lambda = 0$
e quindi tutto si semplifica molto.
Occhio solo ai punti di sella, quelli che vengono con $\lambda = 0$, forse non li hai visti, sono tutti sugli assi.
Quelli ovviamente non vanno contati.
Se sommi e sottrai membro a membro le prime due equazioni trovi, rispettivamente
[tex]$(x+y)(z-3\lambda)=0,\qquad (y-x)(z+\lambda)=0$[/tex]
Pertanto devi analizzare i casi in cui
1) $x+y=0,\ z=-\lambda$
2) $y-x=0,\ z=-3\lambda$
che sono gli unici per i quali entrambe le equazioni si annullano. E' esattamente quello che hai fatto per cui, se sei sicura dei calcoli svolti (non ho controllato tutto) direi che quella che hai dato è la risposta giusta.
EDIT: anticipato da Quinzio!
[tex]$(x+y)(z-3\lambda)=0,\qquad (y-x)(z+\lambda)=0$[/tex]
Pertanto devi analizzare i casi in cui
1) $x+y=0,\ z=-\lambda$
2) $y-x=0,\ z=-3\lambda$
che sono gli unici per i quali entrambe le equazioni si annullano. E' esattamente quello che hai fatto per cui, se sei sicura dei calcoli svolti (non ho controllato tutto) direi che quella che hai dato è la risposta giusta.
EDIT: anticipato da Quinzio!
Grazie mille cmq!! E per quinzio, i punti di sella li avevo già considerati annullando semplicemente il gradiente? infatti mi venivano proprio i punti del tipo (x,0,0), (y,0,0), (z,0,0). Oppure quelli sono solo i punti interni e non sulla frontiera di A?
In ogni caso grazie ancora ;D
In ogni caso grazie ancora ;D
"Irene89":
Grazie mille cmq!! E per quinzio, i punti di sella li avevo già considerati annullando semplicemente il gradiente? infatti mi venivano proprio i punti del tipo (x,0,0), (y,0,0), (z,0,0). Oppure quelli sono solo i punti interni e non sulla frontiera di A?
In ogni caso grazie ancora ;D
Ok, come non detto.
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