Max e min relativi di $(xy)/(x^2+y^2)$
Ciao ragazzi sto avendo problemi nello svolgimento di questo esercizio, mi viene chiesto di calcolare i punti di massimo e minimo relativo di questa funzione:
$(xy)/(x^2+y^2)$
allora come sempre prima di buttarmi in calcoli impossibili studio f, il suo C.E è chiaramente: $ D:{AA(x,y)in RR^2:x,y!=0} $ quindi tutto R esclusa l'origine, inoltre f non è continua nel medesimo punto. Lo stesso discorso vale per le derivate parziali, anche queste hanno lo stesso C.E e non sono continue in (0,0):
$ f_x=(y(x^2+y^2)-2x^2y)/(x^2+y^2)^2 $
$ f_y=(x(x^2+y^2)-2xy^2)/(x^2+y^2)^2 $
andando dunque a risolvere il solito sistema noiosissimo arrivo al risultato:
$ { ( -x^2+y^2=0 ),( x^2+y^2=0 ):} $
che sono linearmente dipendenti e quindi il sistema ammette infinite soluzioni (escludendo l'origine) . Mi sembra un risultato un pò strano, forse ho sbagliato qualche calcolo?? ho comunque provato a interpretare il risultato. Infatti presa qualunque circonferenza centrata nell'origine e di raggio r arbitrario, tutti i punti appartenenti alla circonferenza sono tali che il gradiente sia nullo, e quindi sono tutti punti critici, ma nessuno di questi è un punto di massimo o di minimo in quanto nell'ipotesi di fissarci ad esempio su uno di questi, esiste sempre un altro punto interno tale che la f sia maggiore o minore uguale rispetto al valore nel punto fissato.......può essere un ragionamento sensato?? o sto sbagliando tutto come al solito??So che la cosa più semplice sarebbe apririsi matlab è vedersi l'andamento della funzione, ma non l'ho voluto fare appositamente per provare a ragionarci un pò su.... grazie per l'attenzione
$(xy)/(x^2+y^2)$
allora come sempre prima di buttarmi in calcoli impossibili studio f, il suo C.E è chiaramente: $ D:{AA(x,y)in RR^2:x,y!=0} $ quindi tutto R esclusa l'origine, inoltre f non è continua nel medesimo punto. Lo stesso discorso vale per le derivate parziali, anche queste hanno lo stesso C.E e non sono continue in (0,0):
$ f_x=(y(x^2+y^2)-2x^2y)/(x^2+y^2)^2 $
$ f_y=(x(x^2+y^2)-2xy^2)/(x^2+y^2)^2 $
andando dunque a risolvere il solito sistema noiosissimo arrivo al risultato:
$ { ( -x^2+y^2=0 ),( x^2+y^2=0 ):} $
che sono linearmente dipendenti e quindi il sistema ammette infinite soluzioni (escludendo l'origine) . Mi sembra un risultato un pò strano, forse ho sbagliato qualche calcolo?? ho comunque provato a interpretare il risultato. Infatti presa qualunque circonferenza centrata nell'origine e di raggio r arbitrario, tutti i punti appartenenti alla circonferenza sono tali che il gradiente sia nullo, e quindi sono tutti punti critici, ma nessuno di questi è un punto di massimo o di minimo in quanto nell'ipotesi di fissarci ad esempio su uno di questi, esiste sempre un altro punto interno tale che la f sia maggiore o minore uguale rispetto al valore nel punto fissato.......può essere un ragionamento sensato?? o sto sbagliando tutto come al solito??So che la cosa più semplice sarebbe apririsi matlab è vedersi l'andamento della funzione, ma non l'ho voluto fare appositamente per provare a ragionarci un pò su.... grazie per l'attenzione
Risposte
"MasterCud":
andando dunque a risolvere il solito sistema noiosissimo arrivo al risultato:
$ { ( -x^2+y^2=0 ),( x^2+y^2=0 ):} $
che sono linearmente dipendenti e quindi il sistema ammette infinite soluzioni (escludendo l'origine) .
Premetto che mi fido dei tuoi calcoli.
Per quanto riguarda l'interpretazione, lascio a gio73 che ha molta più fantasia di me riguardo ai grafici.
Tuttavia non è un risultato strano, una funzione potrebbe avere criticità - cioè massimo/minimo/sella - anche in una retta, non solo in singoli punti. Lo so, è strano, ma può succedere.
Comunque non è questo il caso perché se i calcoli sono giusti, la seconda equazione ha come unica soluzione l'accoppiata $x=0$ e $y=0$ poiché una somma di quadrati può essere solo positiva a meno che non siano nulli i singoli termini.
Nel complesso, quindi, l'unica soluzione accettabile di tutto il sistema è proprio quella che, guarda caso, soddisfa anche la prima equazione (sennò il sistema non aveva soluzioni, ergo, non esistevano né massimi né minimi).
E comunque la soluzione $(0,0)$ come punto critico non va in generale perché è fuori dal dominio: non ci sono punti critici.
Arrivo a questo sistema:
$y(y^2-x^2)=0 $
$x(x^2-y^2)= 0$
da cui $ y=+-x$
$y(y^2-x^2)=0 $
$x(x^2-y^2)= 0$
da cui $ y=+-x$
grazie per le vostre risposte, penso più o meno di aver capito!!!!
fondamentalmente li considero come se fossero 2 punti $ p_0(x,x)$ e $p_1(x,-x) $ anche se in realtà non lo sono!!!
"Camillo":
Arrivo a questo sistema:
$y(y^2-x^2)=0 $
$x(x^2-y^2)= 0$
da cui $ y=+-x$
Ah ecco, allora riporta, non avevo ricontrollato i calcoli.
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