Max e min in una funzione di due variabili
Data la funzione
$f(x,y) = (x-2y)(x^2-xy+y^2)$
determinare i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti nel quadrato $Q={(x,y)in RR^2 : |x| <= 1 , |y| <= 1}$
Il punto critico in cui si annullano simultaneamente le derivate prime della funzione è P(0,0).
Una volta calcolato il determinante hessiano nel punto P esso risulta uguale a 0.
Ci si trova nel caso dubbio e a questo punto non so come proseguire.
Chiedo il vostro aiuto e ringrazio anticipatamente chi risponderà.
$f(x,y) = (x-2y)(x^2-xy+y^2)$
determinare i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti nel quadrato $Q={(x,y)in RR^2 : |x| <= 1 , |y| <= 1}$
Il punto critico in cui si annullano simultaneamente le derivate prime della funzione è P(0,0).
Una volta calcolato il determinante hessiano nel punto P esso risulta uguale a 0.
Ci si trova nel caso dubbio e a questo punto non so come proseguire.
Chiedo il vostro aiuto e ringrazio anticipatamente chi risponderà.
Risposte
Fai un disegno. Quella $f$ ha come zeri una retta ed una conica passanti per l'origine. Questo divide il quadrato in varie regioni, su ognuna delle quali $f$ ha segno costante. Studia questi segni e vedi un po' che cosa ne viene fuori.
"Toji":
Data la funzione
$f(x,y) = (x-2y)(x^2-xy+y^2)$
determinare i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti nel quadrato $Q={(x,y)in RR^2 : |x| <= 1 , |y| <= 1}$
Il punto critico in cui si annullano simultaneamente le derivate prime della funzione è P(0,0).
Una volta calcolato il determinante hessiano nel punto P esso risulta uguale a 0.
Ci si trova nel caso dubbio e a questo punto non so come proseguire.
Chiedo il vostro aiuto e ringrazio anticipatamente chi risponderà.
Sono sicuramente critici i punti per cui il bordo non è regolare (i vertici del quadrato). Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ti fornisce gli altri punti potenzialmente candidati ad essere di massimo o minimo (sempre sul bordo del vincolo). La condizione di annullamento del gradiente della funzione riguarda l'interno del quadrato e non ti serve la matrice hessiana. Calcola tutti i punti stazionari e sostituisci i valori nella funzione che hai. Il punto in corrisopondenza del quale la funzione assume valore massimo sara' il max assoluto, analogamente farai per il minimo assoluto.
PS
siccome sei in un quadrato, puoi anche non applicare i moltiplicatori e studiare la funzione direttamente nei segmenti che compongono il quadrato stesso. Cosi', tramite la derivata prima (la funzione ti diventera' di una sola variabile quando la studierai sul bordo del quadrato) puoi valutare anche i punti di estremo relativo.
Ciao
"Gargaroth":
Sono sicuramente critici i punti per cui il bordo non è regolare (i vertici del quadrato).
Perchè si può affermare che i vertici del quadrato sono sicuramente punti critici?
PS
siccome sei in un quadrato, puoi anche non applicare i moltiplicatori e studiare la funzione direttamente nei segmenti che compongono il quadrato stesso. Cosi', tramite la derivata prima (la funzione ti diventera' di una sola variabile quando la studierai sul bordo del quadrato) puoi valutare anche i punti di estremo relativo.
Ciao
Ho usato questo metodo e volevo avere un chiarimento:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes("labels");
rect( [-1, -1] , [1, 1] );
text( [1,1] , "A" , right );
text( [1,-1] , "B" , right );[/asvg]
Consideriamo il segmento AB che giace su una retta x=1.
Sostituisco nella f(x,y) e ottengo:
$f(1,y)= 1-3y+3y^2-2y^3$
Come si procede per determinare per quali valori di y la funzione diventa massima e minima considerando sempre l'intervallo [-1,1]?
Io ho considerato solo gli estremi dell'intervallo ma da alcuni esempi che vedo sul libro a volte tira fuori valori diversi senza spiegare come.
Il procedimento si ripeterà poi per gli altri segmenti.
Ho studiato inoltre il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Ho capito che si utilizza nel caso in cui le x e y non siano indipendenti ma legate da una relazione del tipo $phi(x,y)=0 $
Nel nostro caso i vincoli sono dati da
$ x - 2y =0$ (retta passante per l'origine)
$ x^2 - xy + y^2 = 0 $ (suppongo sia una conica passante per l'origine)
Ho capito bene oppure non considero le funzioni corrette?
Vorrei chiudere l'argomento funzioni di due variabili e passare così alle equazioni differenziali >.<
Vi ringrazio anticipatamente per la pazienza e l'aiuto.
Nessuno che mi risponde? 
Si può uppare? 
"Toji":
Si può uppare?
il secondo up, senza il primo, sarebbe stato innocuo, perché a distanza di 3 giorni dall'ultima risposta.
due up così, no.
svolgendo i calcoli, si vede che la funzione può anche essere scritta così: $f(x,y)=(x-y)^3-y^3$.
non so se è sufficiente, però così si vede che sulla retta y=x, si ha max in (-1,-1) e min in (1,1), lungo l'asse x si ha max in (1,0) e min in (-1,0), lungo l'asse y lo vedevi anche in altro modo che il max è in (0, -1) e il min in (0,1). per il "contorno del quadrato basta sostituire il valore 1 o -1 ad una delle due incognite e risolvere rispetto all'altra....
ciao.
non so se è sufficiente, però così si vede che sulla retta y=x, si ha max in (-1,-1) e min in (1,1), lungo l'asse x si ha max in (1,0) e min in (-1,0), lungo l'asse y lo vedevi anche in altro modo che il max è in (0, -1) e il min in (0,1). per il "contorno del quadrato basta sostituire il valore 1 o -1 ad una delle due incognite e risolvere rispetto all'altra....
ciao.
Chiedo venia per l'uppata e ne approfitto per ringraziarti della risposta.
prego.
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