Max e min in frontiera
Ciao a tutti,
sto cercando di capire il procedimento da usare negli esercizi che mi chiedono la seguente domanda:
"data la funzione f(xy) verificare se la funzione assume valori positivi nel dominio D".
Secondo quanto scritto sulle dispense, Richiedere di verificare se la funzione assume valori positivi in D è equivalente a domandare il segno del massimo assoluto. Infatti se proviamo che il massimo assoluto è negativo, allora la funzione non può assumere valori positivi. Se invece il massimo assoluto è positivo allora chiaramente la funzione assume valori positivi.
Bene, questo è tutto chiaro, passiamo alla pratica. Data la funzione $3/2x^2 + 3/2y^2 -xy -3x +y -10$ verificare che assume valori positivi in $D: |x|<=1 , |y|<=1$.
Primo punto, controllare dove cadono i punti critici. Le derivate parziali sono semplici e sono: $z'_x=3x-y-3$ $z'_y=3y-x+1$ che si annullano in P(1,0). Poichè l'essiano viene = 8 e la $z''_(xx) =3>0$ si ha che il punto P rappresenta un minimo relativo. Sapendo poi che l'asse di simmetria è parallelo all'asse delle z si sa che P è un minimo assoluto.
La ricerca del massimo assoluto si sposta sulla frontiera. Si osserva che la frontiera D è costituita dai segmenti di estremi:
$P_1(-1,-1)$ $P_2(-1,1)$, $P_3(1,1)$, $P_4(1-1)$.
[size=130]Prima domanda: Come determino questi segmenti? Facendo solo il disegno (che si nota subito che è un quadrato?) [/size]
Iniziamo a determinare i massimi ed i minimi assoluti in $P_1$ e $P_2$.
Si considera quindi la retta x-1, pensata nell'intervallo $-1=
Si ha $z'=3y +2$ che si annulla per $y=-2/3$.
[size=130]Seconda domanda: non capisco il passaggio che va dall'inserimento di -1 nell'equazione per poi trovare [/size][size=100]$z=3/2y^2 + 2y -11/2$[/size][size=130] e soprattutto come mai dopo si fa la derivata prima. [/size]
sto cercando di capire il procedimento da usare negli esercizi che mi chiedono la seguente domanda:
"data la funzione f(xy) verificare se la funzione assume valori positivi nel dominio D".
Secondo quanto scritto sulle dispense, Richiedere di verificare se la funzione assume valori positivi in D è equivalente a domandare il segno del massimo assoluto. Infatti se proviamo che il massimo assoluto è negativo, allora la funzione non può assumere valori positivi. Se invece il massimo assoluto è positivo allora chiaramente la funzione assume valori positivi.
Bene, questo è tutto chiaro, passiamo alla pratica. Data la funzione $3/2x^2 + 3/2y^2 -xy -3x +y -10$ verificare che assume valori positivi in $D: |x|<=1 , |y|<=1$.
Primo punto, controllare dove cadono i punti critici. Le derivate parziali sono semplici e sono: $z'_x=3x-y-3$ $z'_y=3y-x+1$ che si annullano in P(1,0). Poichè l'essiano viene = 8 e la $z''_(xx) =3>0$ si ha che il punto P rappresenta un minimo relativo. Sapendo poi che l'asse di simmetria è parallelo all'asse delle z si sa che P è un minimo assoluto.
La ricerca del massimo assoluto si sposta sulla frontiera. Si osserva che la frontiera D è costituita dai segmenti di estremi:
$P_1(-1,-1)$ $P_2(-1,1)$, $P_3(1,1)$, $P_4(1-1)$.
[size=130]Prima domanda: Come determino questi segmenti? Facendo solo il disegno (che si nota subito che è un quadrato?) [/size]
Iniziamo a determinare i massimi ed i minimi assoluti in $P_1$ e $P_2$.
Si considera quindi la retta x-1, pensata nell'intervallo $-1=
Si ha $z'=3y +2$ che si annulla per $y=-2/3$.
[size=130]Seconda domanda: non capisco il passaggio che va dall'inserimento di -1 nell'equazione per poi trovare [/size][size=100]$z=3/2y^2 + 2y -11/2$[/size][size=130] e soprattutto come mai dopo si fa la derivata prima. [/size]
Risposte
Mmmm.... secondo me, per verificare se una funzione è sempre positiva, devi far vedere che il minimo assoluto sia positivo. Se fai vedere che il massimo è positivo, ciò non implica che ci possa essere un valore per cui assumi un valore negativo.
ciampax non so che dirti, questo è ciò che è scritto nelle dispense ed è il procedimento che dovrò usare all'esame 
è veramente contorto.... se per la risposta a più o meno ci posso esser arrivato continuando a studiare questo esempio non riesco a darmi una risposta per la parte b.
cioè perché devo fare la derivata? e soprattutto, quando ho trovato il punto in questione, ovvero $(-1 , -2/3)$ come faccio a dire che è di minimo? solo perchè la $z''>0$? per questo motivo?
è veramente contorto.... se per la risposta a più o meno ci posso esser arrivato continuando a studiare questo esempio non riesco a darmi una risposta per la parte b.cioè perché devo fare la derivata? e soprattutto, quando ho trovato il punto in questione, ovvero $(-1 , -2/3)$ come faccio a dire che è di minimo? solo perchè la $z''>0$? per questo motivo?
Alla fine, dopo aver fatto tutti i calcoli, ovvero aver trovato tutti i max e i min nei singoli intervalli p1p2, p2p3, p3p4, p4p1, avendo calcolato tutte le quote di ogni singolo punto si ha questa situazione:
P=(1,0) minimo assoluto trovato all'inizio.
$Q_1=(-2/3,-1)$
$Q_2=(4/3,1)$
$Q_3=(0,1)$
$Q_4=(2/3,-1)$
che io ho rifatto in questo schema:
Vengono scritte le seguenti considerazioni:
Confrontando le quote dei punti così determinati, e del punto P, possiamo concludere affermando che P è di minimo assoluto mentre P2 è di massimo assoluto. Essendo il massimo assoluto f(p2)=-2, negativo, possiamo affermare che la funzione non ammette valori positivi nel dominio D.
La mia domanda è: perchè P2 è di massimo? sulla stessa quota, senza considerare Q2 che è fuori dominio, ci sono anche Q3 e P3 quindi non capisco come mai solo P2 viene considerato massimo.
ciampax, o qualcun altro, potete aiutarmi?
P=(1,0) minimo assoluto trovato all'inizio.
$Q_1=(-2/3,-1)$
$Q_2=(4/3,1)$
$Q_3=(0,1)$
$Q_4=(2/3,-1)$
che io ho rifatto in questo schema:
Vengono scritte le seguenti considerazioni:
Confrontando le quote dei punti così determinati, e del punto P, possiamo concludere affermando che P è di minimo assoluto mentre P2 è di massimo assoluto. Essendo il massimo assoluto f(p2)=-2, negativo, possiamo affermare che la funzione non ammette valori positivi nel dominio D.
La mia domanda è: perchè P2 è di massimo? sulla stessa quota, senza considerare Q2 che è fuori dominio, ci sono anche Q3 e P3 quindi non capisco come mai solo P2 viene considerato massimo.
ciampax, o qualcun altro, potete aiutarmi?
Lo stesso dubbio ce l'ho per P, cioè, essendoci Q1, P1, Q4, P4, in quota inferiore, perché P è minimo assoluto?
Rimettendo in ordine tutte le quote viene fuori che:
P = -11.5
P1 = -6
P2 = -2
P3 = -10
P4 = -10
Q1 = 6.1
Q2 = 10.1
Q3 = 11.5
Q4 = 6.1
Adesso posso capire come mai il minimo assoluto è P e il massimo assoluto è P2 e di conseguenza, essendo il massimo -2 la funzione non ha valori positivi nel dominio... ok mi torna.... adesso non mi rimane che capire come mai Q3 non è minimo assoluto insieme a P...
P = -11.5
P1 = -6
P2 = -2
P3 = -10
P4 = -10
Q1 = 6.1
Q2 = 10.1
Q3 = 11.5
Q4 = 6.1
Adesso posso capire come mai il minimo assoluto è P e il massimo assoluto è P2 e di conseguenza, essendo il massimo -2 la funzione non ha valori positivi nel dominio... ok mi torna.... adesso non mi rimane che capire come mai Q3 non è minimo assoluto insieme a P...
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