Max e min funzione a 2 var. help!

[pompei1]

ciao a tutti
ho la seguente funzione da studiare mi si chiede di trovare max e min liberi e vincolati
f(x,y)=x^2+y^2+(x^4+y^4)^2
Vincolo: x^2+y^2=1
dopo aver fatto le derivate prime risp a x e ad y di f(x,y) mi sono bloccata non riesco a trovare i punti critici
cosi' non riesco ad andare avanti
spero che ci sia qualcuno in grado di aiutarmi
grazie!

[Quinzio]

Prima si guardano i punti critici come volevi fare tu, e si trovano i punti dove $\del x = \partialy =0$
Qui abbiamo
$\del x = 2x +6(x^4+y^4)\ x^3$
$\del y = 2y +6(x^4+y^4)\ y^3$

$\del x = 0 $ singifica $x( 2 +6(x^4+y^4)\ x^2)=0$
il che è vero solo se $x=0$ perchè poi gli altri sono termini a potenza pari.
Stesso discorso per la y, $y=0$.
Quindi l'unico punto critico è $(0,0)$ ed è un minimo (mi rifiuto di dimostrarlo è evidente)

Poi bisogna guardare i massimi sul bordo $x^2+y^2=1$
Per far ciò si parametrizza il bordo come $\rho=1, \ \ \theta=[0,2\pi)$
e la funzione diventa
$cos^2\theta + sin^2\theta + (cos^4\theta+sin^4\theta)^2 $

da cui mi sembra che $f'(\theta) = 0$ per $\theta = k\pi/4, \ \ k \in \RR $

$= 1 + ((cos^2\theta + sin^2\theta )^2 - 2cos^2\theta\ sin^2\theta )^2$

$= 1 + (1- 2cos^2\theta\ sin^2\theta)^2$

$= 2 - 4cos^2\theta\ sin^2\theta + 4cos^4\theta\ sin^4\theta$

$= 2 - sin^2 2\theta + (1)/(4)\ sin^4 2\theta$

Questo è il valore della funzione sul bordo in funzione di $\theta$, la riscrivo

$f(\theta)= 2 - sin^2 2\theta + (1)/(4)\ sin^4 2\theta$

Si fa la derivata per trovare max e min

$f'(\theta)= - 4sin 2\theta cos 2\theta + 2\ sin^3 2\theta cos 2\theta = cos 2\theta sin 2\theta(- 4 + 2\ sin^2 2\theta)$

da cui mi sembra che (se non ho fatto sbagli) $f'(\theta) = 0 $ per $\theta = k \pi/4, \ \ k \in ZZ$

e per ogni punto vedi se è un max un min.
Fine.
Fine ?

[pompei1]

vero!!! le potenze sono pari... nn c'e' un altro punto oltre (0,0). grazie mille!
per la derivata a me viene 8 anziche' 6.
per la parte riguardante il vincolo noi usiamo il metodo di Lagrange.
ora continuo, grazie ancora

[pompei1]

il sistema con le derivate prime del lagrangiano rispetto alle 3 variabili mi viene cosi'
$x+(x^4+y^4)*4x^3-\lambda*x=0$
$y+(x^4+y^4)*4y^3-\lambda*x=0$
$x^2+y^2-1=0$

ho messo in evidenza la x (o la y nel secondo caso)
per intenderci
$x*(1+(x^4+y^4)*4x^2-\lambda)=0$
ho trovato $\lambda=1+(x^4+y^4)*4x^2$
che sviluppato da'
$\lambda=1+4x^6+4x^2y^4)*$

ho sostituito nella seconda e mi viene
$4y^6-4x^6+4x^2y^2(x^2-y^2)=0$
ho sostituito $x^2=t $ e $y^2=z $ e diviso per 4
se non vado errato si ottiene
$t^3-z^3+z*t*(t-z)=0$
raccogliendo sono arrivata a $(t-z)*(t+z)^2=0$
ottenendo come soluzione $t=+-z$
considerando la sostituzione scarto la sol. col segno negativo percio' $y^2=x^2$ ovvero $x=+-y$
concordate? o c'e' qualche errore? grazie