Max e Min DUBBI

[nunziox]

Es.

Data la funzione:
$f(x,y)=log(x^2+y^2-2x)$ determinare max e min e dire se limitata.

essendo la funzione log monotona crescente posso studiare:

$g(x,y)=x^2+y^2-2x$

$g_x=2x-2$
$g_y=2y$

risolvendo il sistema:

${(2x-2=0),(2y=0):}$

trovo che un possibile punto stazionario è (1,0).
Ma sostituendo alla
$f(x,y)=log(x^2+y^2-2x)$
è
$f(1,0)=log(-1)$ ASSURDO!

Non fa parte dell'insieme di definizione della $f(x,y)$ quindi concludo che la funzione non ha max ne min?

Inoltre per dire se limitata posso fare:

$lim_(y->oo)f(0,y)=+oo$
$lim_(x->oo)f(x,0)=+oo$

e dire che non è limitata?

[Seneca1]

"nunziox":
Inoltre per dire se limitata posso fare:

$lim_(y->oo)f(0,y)=+oo$
$lim_(x->oo)f(x,0)=+oo$

e dire che non è limitata?

Sì, è giusto.

[ciampax]

Per i limiti ad infinito, trovo sia formalmente più corretto ragionare così: dal momento che $x^2+y^2-2x=(x-1)^2+y^2-1$ passando a coordinate polari $x=1+\rho\cos t,\ y=\rho\sin t$ la funzione si riscrive come

$F(\rho,t)=\log(\rho^2-1)$

ed è immediato verificare che per $\rho\to+\infty$ e $\rho\to 1^+$ la funzione non risulti limitata. Questo ti assicura, inoltre, che nell'eventualità tu avessi determinato dei massimi o minimi, essi sarebbero potuti essere solo relativi.

P.S.: Tra l'altro, il dominio sarebbe stato più corretto calcolarlo prima di restringersi allo studio del solo argomento.