Max e min di una funzione in una restrizione

[Libero191]

Salve a tutti. L'esercizio proposto è il seguente:
$f(x,y)=x^2-y^2+3xy+2y$
Determinare eventuali punti di max o min relativo.
Successivamente calcolare max e min assoluti nella restrizione $ T= {(x,y) in RR^2 : y>=x^2, x>=y^2}$

Io ho prima calcolato le derivate prime rispetto ad x ed y:
$f_x=2x+3y , f_y=-2y+3x+2$
Li metto a sistema e trovo il punto $P=(-6/13 , 4/13)$

Calcolo la matrice hessiana che è : $ H= [[2,3],[3,-2]]$
Siccome il determinante della matrice è $<0$ f non ammette nè max nè min relativi.
Fatto ciò dovrei procedere con il calcolo di max e min nella restrizione, solo che non so come fare.
Ho solo notato che sono due parabole che si intersecano e dovrei studiare f sul bordo di intersezione.
Come si fa?
spero di essere stata chiara, grazie mille

[anonymous_0b37e9]

Dopo aver calcolato la funzione nei punti d'intersezione delle due parabole:

$[f(0,0)=0] ^^ [f(1,1)=5]$

conviene procedere come nel caso delle funzioni di una sola variabile mediante le seguenti due restrizioni:

$[f(x,x^2)=-x^4+3x^3+3x^2] ^^ [0 lt x lt 1]$

$[f(y^2,y)=y^4+3y^3-y^2+2y] ^^ [0 lt y lt 1]$

[Libero191]

"anonymous_0b37e9":Dopo aver calcolato la funzione nei punti d'intersezione delle due parabole:

$[f(0,0)=0] ^^ [f(1,1)=5]$

conviene procedere come nel caso delle funzioni di una sola variabile mediante le seguenti due restrizioni:

$[f(x,x^2)=-x^4+3x^3+3x^2] ^^ [0 lt x lt 1]$

$[f(y^2,y)=y^4+3y^3-y^2+2y] ^^ [0 lt y lt 1]$

Potresti illustrami come procedere?
dovrei usale lagrange? o fare le derivate prime delle due funzioni che hai scritto?
Scusa non so proprio come procedere

[anonymous_0b37e9]

Premesso che i minimi e i massimi assoluti di una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato:

$[f(x,x^2)=-x^4+3x^3+3x^2] ^^ [0 lt= x lt= 1]$

$[f(y^2,y)=y^4+3y^3-y^2+2y] ^^ [0 lt= y lt= 1]$

possono essere assunti al suo interno, derivata nulla, o ai suoi estremi (i valori agli estremi erano stati calcolati all'inizio del mio messaggio precedente, ragione per cui non avevo incluso gli estremi medesimi), si deve procedere con le due funzioni di cui sopra.

[Libero191]

"anonymous_0b37e9":Premesso che i minimi e i massimi assoluti di una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato:

$[f(x,x^2)=-x^4+3x^3+3x^2] ^^ [0 lt= x lt= 1]$

$[f(y^2,y)=y^4+3y^3-y^2+2y] ^^ [0 lt= y lt= 1]$

possono essere assunti al suo interno, derivata nulla, o ai suoi estremi (i valori agli estremi sono stati calcolati all'inizio del mio messaggio precedente, ragione per cui non avevo incluso gli estremi medesimi), si deve procedere con le due funzioni di cui sopra.

Cioè quanto ho fatto per la funzione di partenza lo devo fare per ciascuna di queste due?

[anonymous_0b37e9]

Per la prima funzione:

$[f(x,x^2)=-x^4+3x^3+3x^2] ^^ [0 lt= x lt= 1]$

$[(df)/(dx)=-4x^3+9x^2+6x=-x(4x^2-9x-6)=0] rarr [x=0] vv [x=(9+-sqrt(177))/8]$

Per la seconda:

$[f(y^2,y)=y^4+3y^3-y^2+2y] ^^ [0 lt= y lt= 1]$

$[(df)/(dy)=4y^3+9y^2-2y+2=0]$

L'ultima equazione non ammette soluzioni nell'intervallo $[0 lt= y lt= 1]$.

[Libero191]

e così ho finito? grazie mille per l'aiuto!

[anonymous_0b37e9]

I minimi e i massimi assoluti della funzione:

$f(x,y)=x^2-y^2+3xy+2y$

nell'insieme:

$T={(x,y) in RR^2 : y>=x^2, x>=y^2}$

vanno ricercati tra i punti:

$O(0,0) vv A(1,1) vv B((9-sqrt(177))/8,(129-9sqrt(177))/32)$

Il punto che hai determinato nel corso della prima fase del procedimento:

$P(-6/13,4/13)$

non appartenendo all'insieme di cui sopra, non deve essere considerato.