Max e min. di una funzione
Ciao,
qualcuno mi spiega bene come funziona lo studio dei max e min assoluti e relativi di una funzione?
Cioè io ho provato a studiare questa:
Ho fatto la derivata prima per studiarne la crescenza e decrescenza... però non so come capire se è un max (min) assoluto o relativo... ed ho visto che il prof. vuole sapere soprattutto se ha estremi superiori o inferiori e li vede facendo il limite della f(x)...
mi spiegate bene come funziona il tutto ?
qualcuno mi spiega bene come funziona lo studio dei max e min assoluti e relativi di una funzione?
Cioè io ho provato a studiare questa:
Ho fatto la derivata prima per studiarne la crescenza e decrescenza... però non so come capire se è un max (min) assoluto o relativo... ed ho visto che il prof. vuole sapere soprattutto se ha estremi superiori o inferiori e li vede facendo il limite della f(x)...
mi spiegate bene come funziona il tutto ?
Risposte
Gli estremi (superiori o inferiori) di una funzione si trovano sostanzialmente in due passaggi:
Calcoli i limiti della funzione nei punti di discontinuità e (se appartenenti al dominio) agli infiniti.
Calcoli la derivata prima e trovi massimi e minimi.
A questo punto confronti i risultati e trovi massimi e minimi assoluti(se esistono, altrimenti estremo inferiore e superiore) e relativi.
Se esistono estremo superiore e inferiore la funzione è limitata tra tali valori.
Se esiste solo il Sup è limitata superiormente, se esiste solo l'Inf è limitata inferiormente, se non esistono, la funzione non è limitata.
N.B. non è richiesta l'unicità di estremi speriore/inferiore o massimi/minimi.
Calcoli i limiti della funzione nei punti di discontinuità e (se appartenenti al dominio) agli infiniti.
Calcoli la derivata prima e trovi massimi e minimi.
A questo punto confronti i risultati e trovi massimi e minimi assoluti(se esistono, altrimenti estremo inferiore e superiore) e relativi.
Se esistono estremo superiore e inferiore la funzione è limitata tra tali valori.
Se esiste solo il Sup è limitata superiormente, se esiste solo l'Inf è limitata inferiormente, se non esistono, la funzione non è limitata.
N.B. non è richiesta l'unicità di estremi speriore/inferiore o massimi/minimi.
Con la nota in N.B. intendo dire che i valori estremanti possono essere assunti anche più volte, in corrispondenza di punti diversi(ovviamente il valore dell'estremo superiore/inferiore sarà unico)
ok grazie, domani provo a fare degli esercizi, se ho dubbi li posto 
Allora, mi ero messo a fare queste due funzioni.
La prima è questa:
Il suo dominio è tutto R tranne {0, -2} ed è sempre positiva per il valore assoluto.
I limiti a +inf e -inf risultano 0.
Se calcolo i limiti nei suoi punti di discontinuità ottengo:
con x->0 @ f(x) -> +inf
con x->-2 @ f(x) -> -inf
Mi chiedevo cosa devo concludere a questo punto, sullo svolgimento del prof. si conclude che non ci sono max e min assoluti, però questo si deduce dal fatto che il limite a +inf ed a -inf risulta zero o per che cosa altro ?
Inoltre la derivata prima è: ( riporto solo quella negativa ):
f(x) = 2 / ( x(x+2) ) che risulta sempre definita nel dominio della f(x) e non ha nè max nè min, quindi si conclude che non ci sono nemmeno quelli relativi ??
La seconda era questa:
Il dominio è tutto R e si annulla per x = 0 ed x = 3/2.
Perchè il prof. scrive subito che questi due risultati sono il minimo assoluto della f(x)?
Poi i limiti sono questi:
x->+inf @ f(x) -> 0 Quindi non ha max assoluto ???
x->-inf @ f(x) -> +inf Cosa ne deduco ?
Facendo la derivata prima, posto solo quella positiva, si vede che la f(x) cresce tra { 0 e ( 11-sqrt(73) ) / 2 } e { 3/2 e (11+sqrt(73)) / 2 }, e negli altri due intervalli decresce, quindi li devo considerare come max e min relativi ???
In sostanza, per i max e min assoluti devo considerare i limiti a +inf ed a -inf e vedere dove vanno ?
cioè se convergono allora l'estremo superiore è quel numero, altrimenti se vanno a +/-inf allora non esiste l'estremo superiore/inferiore ?
Per i max/min relativi devo considerare solo la derivata prima ?
La prima è questa:
Il suo dominio è tutto R tranne {0, -2} ed è sempre positiva per il valore assoluto.
I limiti a +inf e -inf risultano 0.
Se calcolo i limiti nei suoi punti di discontinuità ottengo:
con x->0 @ f(x) -> +inf
con x->-2 @ f(x) -> -inf
Mi chiedevo cosa devo concludere a questo punto, sullo svolgimento del prof. si conclude che non ci sono max e min assoluti, però questo si deduce dal fatto che il limite a +inf ed a -inf risulta zero o per che cosa altro ?
Inoltre la derivata prima è: ( riporto solo quella negativa ):
f(x) = 2 / ( x(x+2) ) che risulta sempre definita nel dominio della f(x) e non ha nè max nè min, quindi si conclude che non ci sono nemmeno quelli relativi ??
La seconda era questa:
Il dominio è tutto R e si annulla per x = 0 ed x = 3/2.
Perchè il prof. scrive subito che questi due risultati sono il minimo assoluto della f(x)?
Poi i limiti sono questi:
x->+inf @ f(x) -> 0 Quindi non ha max assoluto ???
x->-inf @ f(x) -> +inf Cosa ne deduco ?
Facendo la derivata prima, posto solo quella positiva, si vede che la f(x) cresce tra { 0 e ( 11-sqrt(73) ) / 2 } e { 3/2 e (11+sqrt(73)) / 2 }, e negli altri due intervalli decresce, quindi li devo considerare come max e min relativi ???
In sostanza, per i max e min assoluti devo considerare i limiti a +inf ed a -inf e vedere dove vanno ?
cioè se convergono allora l'estremo superiore è quel numero, altrimenti se vanno a +/-inf allora non esiste l'estremo superiore/inferiore ?
Per i max/min relativi devo considerare solo la derivata prima ?
Prendiamo in considerazione la prima funzione. Come da te si ha che
limx->0 f(x)= +inf
limx->-2 f(x)= -inf
Il prof ha ragione di dire che la funzione non ammette ne massimo ne minimo.
E' importante distinguere il concetto di massimo assoluto da quello di estremo superiore:
un punto si dice "di massimo assoluto" se il valore della funzione calcolata IN QUEL PUNTO è il massimo valore del codominio. Ovviamente il massimo non potrà che essere finito (per lo meno non senza scomodare la teoria delle distribuzioni).
Se invece il "valore massimo" del codominio è ottenuto tramite un processo di limite, allora si parla di estremo superiore.
Stesse considerazioni valgono per estremo inferiore e minimo assoluto.
Prendiamo ad esempio l'estremo inferiore sempre della prima funzione:
se -inf fosse il Minimo assoluto, significherebbe che -2 sarebbe un punto di minimo per f(x), ma questo è assurdo, perchè -2 non appartiene nemmeno al dominio di f(x). Pertanto -inf è l'estremo inferiore di f(x).
Lo stesso discorso vale per l'estremo superiore.
limx->0 f(x)= +inf
limx->-2 f(x)= -inf
Il prof ha ragione di dire che la funzione non ammette ne massimo ne minimo.
E' importante distinguere il concetto di massimo assoluto da quello di estremo superiore:
un punto si dice "di massimo assoluto" se il valore della funzione calcolata IN QUEL PUNTO è il massimo valore del codominio. Ovviamente il massimo non potrà che essere finito (per lo meno non senza scomodare la teoria delle distribuzioni).
Se invece il "valore massimo" del codominio è ottenuto tramite un processo di limite, allora si parla di estremo superiore.
Stesse considerazioni valgono per estremo inferiore e minimo assoluto.
Prendiamo ad esempio l'estremo inferiore sempre della prima funzione:
se -inf fosse il Minimo assoluto, significherebbe che -2 sarebbe un punto di minimo per f(x), ma questo è assurdo, perchè -2 non appartiene nemmeno al dominio di f(x). Pertanto -inf è l'estremo inferiore di f(x).
Lo stesso discorso vale per l'estremo superiore.
mm ottimo ho capito!!!
Grazie Marco!
Grazie Marco!
Vediamo se ho capito bene.
Allora quando faccio il limite ed ottengo un valore tipo +inf o -inf che non appartiene al codominio allora vuol dire che la funzione in questione non ha min o max assoluti e che +inf o - inf sono l'estremo superiore o quello inferiore. Se invece facendo il limite nei punti di discontinuità ottengo un valore finito compreso nel codominio allora quello sarà il max assoluto o il min assoluto vero ?
Ma questo vale solo per i limiti fatti nei punti di discontinuità o anche per i limiti con x->+nf e x->-inf?
Perchè nella funzione numero 1 che ho postato si ha che i due limiti nei punti di discontinuità vanno a +inf e -inf però se si fa il limite a +inf/-inf si ottiene zero...
Però in questo caso zero non è considerato perchè no fa parte del codominio ed è un punto di discontinuità... e quindi non lo considero?
Cioè cosa concludo se cosnidero una funzione definita su tutto R-{x0} e:
##################################
lim x->+/-inf f(x) = 0
lim x->x0 f(x) = +inf
In questo caso non ha max assoluto perchè +inf non fa parte del codominio, e per quanto riguarda il primo limite che va a zero ?
######################################
lim x->+inf fx = +inf
lim x->x0 fx = 3
In questo caso il max assoluto è 3 perchè fa parte del codominio ? e il +inf del primo limite ?
##################################
Ho risolto questa funzione, più o meno banale, mi serviva come esempio...
f(x) = ( ( x+3 )^3 ) / x^2
il suo dominio è tutto R -{0};
se faccio i limiti:
lim x->0 f(x) = +inf
lim -> +inf f(x) = +inf
e poi ha un asintoto obliquo y = x+3;
E facendo la derivata si trova che x=2 è un punto di min. relativo.
Concludo che la f in questione non ha max e min assoluti, ha estremo superiore che è +inf ed ha un minimo relativo in x = 2 ??? è corretto ?
Allora quando faccio il limite ed ottengo un valore tipo +inf o -inf che non appartiene al codominio allora vuol dire che la funzione in questione non ha min o max assoluti e che +inf o - inf sono l'estremo superiore o quello inferiore. Se invece facendo il limite nei punti di discontinuità ottengo un valore finito compreso nel codominio allora quello sarà il max assoluto o il min assoluto vero ?
Ma questo vale solo per i limiti fatti nei punti di discontinuità o anche per i limiti con x->+nf e x->-inf?
Perchè nella funzione numero 1 che ho postato si ha che i due limiti nei punti di discontinuità vanno a +inf e -inf però se si fa il limite a +inf/-inf si ottiene zero...
Però in questo caso zero non è considerato perchè no fa parte del codominio ed è un punto di discontinuità... e quindi non lo considero?
Cioè cosa concludo se cosnidero una funzione definita su tutto R-{x0} e:
##################################
lim x->+/-inf f(x) = 0
lim x->x0 f(x) = +inf
In questo caso non ha max assoluto perchè +inf non fa parte del codominio, e per quanto riguarda il primo limite che va a zero ?
######################################
lim x->+inf fx = +inf
lim x->x0 fx = 3
In questo caso il max assoluto è 3 perchè fa parte del codominio ? e il +inf del primo limite ?
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Ho risolto questa funzione, più o meno banale, mi serviva come esempio...
f(x) = ( ( x+3 )^3 ) / x^2
il suo dominio è tutto R -{0};
se faccio i limiti:
lim x->0 f(x) = +inf
lim -> +inf f(x) = +inf
e poi ha un asintoto obliquo y = x+3;
E facendo la derivata si trova che x=2 è un punto di min. relativo.
Concludo che la f in questione non ha max e min assoluti, ha estremo superiore che è +inf ed ha un minimo relativo in x = 2 ??? è corretto ?
Vedo che la spiegazione non è stata chiarissima.
Cercherò di essere più diretto e non divagare sul codominio.
Nel tuo caso -inf e +inf sono i limiti del codominio, ovviamente con la tipica notazione(-inf;0)U(0;+inf) N.B. questo è il CODOMINIO.
Tornando a massimi, minimi e estremi...
Analiziamo per bene la prima funzione.
limx->-inf=0-
limx->-2=-inf
limx->0=+inf
limx->+inf=0+
derivata:
per x appartenente a (-inf;-2) f'(x)= -2/x(x+2)
per x appartenente a (-2;0) f'(x)= 2/x(x+2)
per x appartenente a (0;+inf) f'(x)=-2/x(x+2)
dal momento che la derivata prima non si annulla in nessun punto, non vi sono massimi o minimi (ne assoluti ne relativi.
Il massimo valore a cui TENDE la funzione è +inf quindi l'etremo superiore è +inf
Il minimo valore a cui tende la funzione è -inf quindi l'estremo inferiore è -inf.
Massimi assoluti o estremi superiori (minimi assoluti o estremi inferiori) sono i punti estremi del codominio.
se avessimo un codominio nella forma [a;b] allora a e b sarebbero risp minimo e massimo assoluti di f(x).
se avessimo un codominio nella forma (a;b) allora a e b sarebbero estremo inferiore e superiore di f(x).
Nel caso della prima funzione si verifica la situazione (a;c)U(c;b), pertanto a= estremo inferiore, b=estremo superiore.
Ovviamente quando calcoli il lim di f(x) per x->inf stai facendo un processo di limite, quindi se ottieni che i limiti del codominio sono assunti per x->inf, avrai estremi superiori e inferiori e non massimi e minimi.
Riassumendo:
Est sup o inf, max e min assoluti rappresentano i valori massimi e minimi "assunti" dalla funzione.
Se f(x) assume questi valori massimi o minimi tramite un passaggio al limite (indipendentemente che il limite sia in un punto di discontinuità o all'infinito) avrai estremi sup e inf.
Se f(x) assome questi valori massimi o minimi tramite calcolo del valore della funzione in un punto, allora avrai massimi o minimi assoluti.
Spero di essere stato chiaro.
Cercherò di essere più diretto e non divagare sul codominio.
Nel tuo caso -inf e +inf sono i limiti del codominio, ovviamente con la tipica notazione(-inf;0)U(0;+inf) N.B. questo è il CODOMINIO.
Tornando a massimi, minimi e estremi...
Analiziamo per bene la prima funzione.
limx->-inf=0-
limx->-2=-inf
limx->0=+inf
limx->+inf=0+
derivata:
per x appartenente a (-inf;-2) f'(x)= -2/x(x+2)
per x appartenente a (-2;0) f'(x)= 2/x(x+2)
per x appartenente a (0;+inf) f'(x)=-2/x(x+2)
dal momento che la derivata prima non si annulla in nessun punto, non vi sono massimi o minimi (ne assoluti ne relativi.
Il massimo valore a cui TENDE la funzione è +inf quindi l'etremo superiore è +inf
Il minimo valore a cui tende la funzione è -inf quindi l'estremo inferiore è -inf.
Massimi assoluti o estremi superiori (minimi assoluti o estremi inferiori) sono i punti estremi del codominio.
se avessimo un codominio nella forma [a;b] allora a e b sarebbero risp minimo e massimo assoluti di f(x).
se avessimo un codominio nella forma (a;b) allora a e b sarebbero estremo inferiore e superiore di f(x).
Nel caso della prima funzione si verifica la situazione (a;c)U(c;b), pertanto a= estremo inferiore, b=estremo superiore.
Ovviamente quando calcoli il lim di f(x) per x->inf stai facendo un processo di limite, quindi se ottieni che i limiti del codominio sono assunti per x->inf, avrai estremi superiori e inferiori e non massimi e minimi.
Riassumendo:
Est sup o inf, max e min assoluti rappresentano i valori massimi e minimi "assunti" dalla funzione.
Se f(x) assume questi valori massimi o minimi tramite un passaggio al limite (indipendentemente che il limite sia in un punto di discontinuità o all'infinito) avrai estremi sup e inf.
Se f(x) assome questi valori massimi o minimi tramite calcolo del valore della funzione in un punto, allora avrai massimi o minimi assoluti.
Spero di essere stato chiaro.
si, ora ho capito meglio la faccenda... grazie Marco!
Guarda un pò questa funzione:
è definita sempre.
I limiti sono:
lim x-> +inf f(x) = 1/2
lim x-> -inf f(x) = -1/2
La derivata è f(x) = x/( (2x-1)^2 ) quando x appartiene a (-inf, 0);
è 1 quando appartiene a (0,1) ed equivale a -1/((2x-1)^2) quando è (1, +inf);
La derivata ha in x=1 un punto di max assoluto, ma è anche relativo ? credo di si...
E per quanto riguarda i limiti nei punti di discontinuità non ci posso ricavare niente ? non vanno a +/-inf... cosa posso dire sugli estremi?
è definita sempre.
I limiti sono:
lim x-> +inf f(x) = 1/2
lim x-> -inf f(x) = -1/2
La derivata è f(x) = x/( (2x-1)^2 ) quando x appartiene a (-inf, 0);
è 1 quando appartiene a (0,1) ed equivale a -1/((2x-1)^2) quando è (1, +inf);
La derivata ha in x=1 un punto di max assoluto, ma è anche relativo ? credo di si...
E per quanto riguarda i limiti nei punti di discontinuità non ci posso ricavare niente ? non vanno a +/-inf... cosa posso dire sugli estremi?
allora:
1) E' ovvio che se x=1 è un punto di massimo assoluto è anche un punto di massimo relativo. Pensa a questo esempio: se tu fossi il più alto del mondo, saresti anche il più alto del tuo paese?
2) I limiti nei punti di discontinuità ti sfido a calcolarli... visto che non ci sono punti di discontinuità (di f(x)).
3) Per quanto riguarda gli estremi:
l'estremo superiore coincide con il massimo assoluto (dal momento che, per definizione di continuità di f(x) in x=1, f(1)=limx->1f(x))
l'estremo inferiore è -1/2 e lo trovi facendo il limite per x->-inf. In questo caso si parla di estremo inferiore e non di minimo assoluto perchè non puoi calcolare il VALORE di f(x) all'infinito, ne puoi solo calcolare il limite.
1) E' ovvio che se x=1 è un punto di massimo assoluto è anche un punto di massimo relativo. Pensa a questo esempio: se tu fossi il più alto del mondo, saresti anche il più alto del tuo paese?
2) I limiti nei punti di discontinuità ti sfido a calcolarli... visto che non ci sono punti di discontinuità (di f(x)).
3) Per quanto riguarda gli estremi:
l'estremo superiore coincide con il massimo assoluto (dal momento che, per definizione di continuità di f(x) in x=1, f(1)=limx->1f(x))
l'estremo inferiore è -1/2 e lo trovi facendo il limite per x->-inf. In questo caso si parla di estremo inferiore e non di minimo assoluto perchè non puoi calcolare il VALORE di f(x) all'infinito, ne puoi solo calcolare il limite.
ok grazie! tutto chiaro!
scusami, ho scritto di fretta e mi sono confuso invece di scrivere dei limiti all'infinito avevo scritto dei limiti nelle discontinuità, che non ci sono
scusami, ho scritto di fretta e mi sono confuso invece di scrivere dei limiti all'infinito avevo scritto dei limiti nelle discontinuità, che non ci sono
riapro il topic...
allora stavo studiando questa funzione:
f(x) = x^(-2)e^x
dunque, la derivata prima si annulla in x = 2 e non è definita per x = 0;
Studiando il segno si trova che la fx cresce da -infinito e zero e tra 2 e +infinito ed è decrescente tra zero e due.
Se vado a vedere quanto vale f(2) vedo che f(2) > 0 quindi x = 2 può essere solo un punto di minimo relativo, poichè ci saranno altri punti compresi da zero e due che appartengono alla funzione. Il punto x = 0 non può essere di max ( da come risulta facendo il grafico della derivata ) perchè x = 0 non appartiene nemmeno al dominio della funzione. Facendo il limite x->0 di f(x) vedo che va a meno infinito e se faccio il limite per x -> -inf la f(x) va a zero, quindi concludo che inf f(x) = 0;
La funzione non ha max relativi o assoluti, ma posso concludere che sup f(x) = +inf o non posso perchè infinito fa parte del dominio ?
Vi era anche quest'altra funzione.
f(x) = x log^2 x [ x per log al quadrato di x ]
Il dominio della f è x >0, facendo la derivata prima vedo che questa si annulla per x = 1 ed x = e^(-2). La derivata cresce da -inf a e^(-2) e da 1 sino a +inf. Mentre decresce da e^(-2) ad 1.
Se faccio f(e^(-2)) noto che il valore che ottengo è di poco maggiore di zero, concludo che x = e^(-2) è un max relativo ma non assoluto della f(x). Il punto x = 1 è invece di minimo assoluto perchè se faccio f(1) ottengo zero ceh è proprio il più piccolo dei valori che la f(x) può avere...
Mi chiedevo se esistesse il sup o meno...
L'estremo inferiore di sicuro non esiste poichè x = 0 è il minimo assoluto e la funzione non tende verso valori più piccoli di x = 0...
In genere faccio seguo questo ragionamento per i max ed i min, ditemi se è corretto:
1. studio il dominio di f(x)
2. faccio la derivata prima e vedo dove si annulla
3. faccio i limiti nei punti di discontinuità ed a +inf e -inf
4. vedo che valori assume la f(x) nei punti in cui si annulla la derivata prima per trovare max e/o min a seconda dei valori riportati sul grafico della derivata prima.
5. Se il valore è compreso nel dominio è un max o un min relativo e/o assoluto
6. Se il valore, ottenuto tramite un processo di limite o andando a trovare f(x0) non appartiene al dominio, allora dovrebbe essere un estremo superiore o inferiore...
corretto ? o ci sono imprecisioni ?
Grazie per l'aiuto!
allora stavo studiando questa funzione:
f(x) = x^(-2)e^x
dunque, la derivata prima si annulla in x = 2 e non è definita per x = 0;
Studiando il segno si trova che la fx cresce da -infinito e zero e tra 2 e +infinito ed è decrescente tra zero e due.
Se vado a vedere quanto vale f(2) vedo che f(2) > 0 quindi x = 2 può essere solo un punto di minimo relativo, poichè ci saranno altri punti compresi da zero e due che appartengono alla funzione. Il punto x = 0 non può essere di max ( da come risulta facendo il grafico della derivata ) perchè x = 0 non appartiene nemmeno al dominio della funzione. Facendo il limite x->0 di f(x) vedo che va a meno infinito e se faccio il limite per x -> -inf la f(x) va a zero, quindi concludo che inf f(x) = 0;
La funzione non ha max relativi o assoluti, ma posso concludere che sup f(x) = +inf o non posso perchè infinito fa parte del dominio ?
Vi era anche quest'altra funzione.
f(x) = x log^2 x [ x per log al quadrato di x ]
Il dominio della f è x >0, facendo la derivata prima vedo che questa si annulla per x = 1 ed x = e^(-2). La derivata cresce da -inf a e^(-2) e da 1 sino a +inf. Mentre decresce da e^(-2) ad 1.
Se faccio f(e^(-2)) noto che il valore che ottengo è di poco maggiore di zero, concludo che x = e^(-2) è un max relativo ma non assoluto della f(x). Il punto x = 1 è invece di minimo assoluto perchè se faccio f(1) ottengo zero ceh è proprio il più piccolo dei valori che la f(x) può avere...
Mi chiedevo se esistesse il sup o meno...
L'estremo inferiore di sicuro non esiste poichè x = 0 è il minimo assoluto e la funzione non tende verso valori più piccoli di x = 0...
In genere faccio seguo questo ragionamento per i max ed i min, ditemi se è corretto:
1. studio il dominio di f(x)
2. faccio la derivata prima e vedo dove si annulla
3. faccio i limiti nei punti di discontinuità ed a +inf e -inf
4. vedo che valori assume la f(x) nei punti in cui si annulla la derivata prima per trovare max e/o min a seconda dei valori riportati sul grafico della derivata prima.
5. Se il valore è compreso nel dominio è un max o un min relativo e/o assoluto
6. Se il valore, ottenuto tramite un processo di limite o andando a trovare f(x0) non appartiene al dominio, allora dovrebbe essere un estremo superiore o inferiore...
corretto ? o ci sono imprecisioni ?
Grazie per l'aiuto!
nessuno mi sa dare una mano ?
vi basta leggere l'ultimo post eh nn occorre leggere tutti gli altri di prima 
vi basta leggere l'ultimo post eh
nn occorre leggere tutti gli altri di prima
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