Max e min di funzione a 2 variabili
salve a tutti. Ho il seguente problema da svolgere: determinare i punti di estremo relativo e assoluto, se ve ne sono, della funzione
\(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{8y-x^2-y^2} \)
nell'insieme \(\displaystyle X\cap A\) dove X è il campo di esistenza della f ed
\(\displaystyle A=\{(x,y)\in\mathbb R \text{ tali che } 6(y-4)-x^2y\leq 0\} \).
Mi trovo i punti critici imponendo
\(\displaystyle f_x=0 \)
e
\(\displaystyle f_y=0 \)
Il punto che trovo è (0,4) ed esso appartiene all'insieme dei vincoli \(\displaystyle X\cap A\). Dunquè (0,4) è un punto critico. Infine mi calcolo l'essiano e vedo che tale punto è di max relativo. giusto? possono esserci altri punti di minino e/o di massimo e in tal caso come dovrei effettuare la ricerca? grazie mille in anticipo!
\(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{8y-x^2-y^2} \)
nell'insieme \(\displaystyle X\cap A\) dove X è il campo di esistenza della f ed
\(\displaystyle A=\{(x,y)\in\mathbb R \text{ tali che } 6(y-4)-x^2y\leq 0\} \).
Mi trovo i punti critici imponendo
\(\displaystyle f_x=0 \)
e
\(\displaystyle f_y=0 \)
Il punto che trovo è (0,4) ed esso appartiene all'insieme dei vincoli \(\displaystyle X\cap A\). Dunquè (0,4) è un punto critico. Infine mi calcolo l'essiano e vedo che tale punto è di max relativo. giusto? possono esserci altri punti di minino e/o di massimo e in tal caso come dovrei effettuare la ricerca? grazie mille in anticipo!
Risposte
ciao irelimax,
una parte del tuo post è illeggibile, puoi modificarla opportunamente?
una parte del tuo post è illeggibile, puoi modificarla opportunamente?
Sei sicuro che sia \(X \cup A\)? Sarà mica \(X \cap A\)?
si avete ragione è X intersecato A
"gio73":
ciao irelimax,
una parte del tuo post è illeggibile, puoi modificarla opportunamente?
Ho modificato la frase che non si capiva. ora sei in grado di rispondermi?
Guarda tu riponi troppa fiducia nelle mie possibilità, ti dico quello che penso (ma controlla bene, potrei sbagliarmi), poi vedi se serve.
La nostra funzione è definita nell'insieme $X$, che se non erro è una circonferenza di raggio 4 e centro (0;4). In corrispondenza del centro abbiamo il valore massimo (z=4, se non ho sbagliato i conti) mentre lungo il bordo, la circonferenza, abbiamo il valore minimo (z=0), valori negativi di z mi sembra che non ne possiamo avere, di conseguenza direi che i punti di $XcapA$ che appartengono alla circonferenza sono punti di minimo assoluto.
La nostra funzione è definita nell'insieme $X$, che se non erro è una circonferenza di raggio 4 e centro (0;4). In corrispondenza del centro abbiamo il valore massimo (z=4, se non ho sbagliato i conti) mentre lungo il bordo, la circonferenza, abbiamo il valore minimo (z=0), valori negativi di z mi sembra che non ne possiamo avere, di conseguenza direi che i punti di $XcapA$ che appartengono alla circonferenza sono punti di minimo assoluto.
Per il massimo sono d'accordo con te. ma non ho ben capito come fai a dire che per z=0 abbiamo un minimo lungo il bordo della circonferenza. Inoltre in quest'ultimo ragionamento hai considerato l'insieme A?
Ciao irelimax,
ti avviso ancora di non fidarti troppo, sono qui per imparare e quindi facilmente potrei sbagliare.
Sei d'accordo che la nostra funzione non può essere negativa? Cioè meno di 0 non può valere? Allora mi domando: dove la nostra funzione vale 0? Vale 0 lungo la circonferenza.
Riguardo l'insieme $A$ ho provato ad immaginarmelo, dimmi se ti trovi. Si tratta della porzione di piano sottostante una curva, simmetrica rispetto l'asse y, che interseca l'asse delle ordinate nel punto (0;4) e che ha due asintoti verticali in corrispondenza di $x=+sqrt6$ e $-sqrt6$.
Facendo l'intersezione dei due insiemi mi viene la porzione di cerchio sottostante la curva che descritto in precedenza.
I punti di minimo assoluto ce li ho lungo la porzione di circonferenza che mi resta.
ti avviso ancora di non fidarti troppo, sono qui per imparare e quindi facilmente potrei sbagliare.
Sei d'accordo che la nostra funzione non può essere negativa? Cioè meno di 0 non può valere? Allora mi domando: dove la nostra funzione vale 0? Vale 0 lungo la circonferenza.
Riguardo l'insieme $A$ ho provato ad immaginarmelo, dimmi se ti trovi. Si tratta della porzione di piano sottostante una curva, simmetrica rispetto l'asse y, che interseca l'asse delle ordinate nel punto (0;4) e che ha due asintoti verticali in corrispondenza di $x=+sqrt6$ e $-sqrt6$.
Facendo l'intersezione dei due insiemi mi viene la porzione di cerchio sottostante la curva che descritto in precedenza.
I punti di minimo assoluto ce li ho lungo la porzione di circonferenza che mi resta.
Qualcosa ora è più chiara e su qualcosa ti do ragione. Non so solo come hai fatto a trovare gli asintoti ma cmq non credo siano indispensabili ai fini della ricerca dei massimi e minimi. l'esercizio allora sembra risolto!
Avevo soltanto un'altra domanda. Il metodo di Lagrange si usa soltanto per la ricerca sulla frontiera giusto?
Avevo soltanto un'altra domanda. Il metodo di Lagrange si usa soltanto per la ricerca sulla frontiera giusto?
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