Max e min assoluti vincolati
Salve!!!
Ho un piccolo problema con un'esercizio di analisi 2 (tanto per cambiare -.-): ho una funzione $ f(x,y)=x*y^2-x^2*y^4 $ e devo calcolarne i minimi e i massimi assoluti nel quadrato $ -1<=x<=1 $ e $ -1<=y<=1 $ ...qualcuno mi sa spiegare come si deve procedere?? Non sono ancora molto pratico di analisi 2 e sul libro non è spiegato granchè bene!
grazie mille a chi mi aiuterà
Ho un piccolo problema con un'esercizio di analisi 2 (tanto per cambiare -.-): ho una funzione $ f(x,y)=x*y^2-x^2*y^4 $ e devo calcolarne i minimi e i massimi assoluti nel quadrato $ -1<=x<=1 $ e $ -1<=y<=1 $ ...qualcuno mi sa spiegare come si deve procedere?? Non sono ancora molto pratico di analisi 2 e sul libro non è spiegato granchè bene!
grazie mille a chi mi aiuterà
Risposte
Nel quadrato si intende insieme dei punti interni e di frontiera? O solo sul bordo!?
Comunque per quanto riguarda i punti interni al quadrato basta applicare il normale meccanismo di ricerca di massimi e minimi, quindi derivate parziali e poi matrice Hessiana. Per quanto riguarda il bordo del quadrato, cioè la sua frontiera, allora devi trovare un modo per parametrizzarla e studiare su ogni lato del quadrato (che alla fine sono rette parallele agli assi) l'eventuale presenza di max e min. Stando comunque in un compatto tiene presente il teorema di Weierstrass.
Comunque per quanto riguarda i punti interni al quadrato basta applicare il normale meccanismo di ricerca di massimi e minimi, quindi derivate parziali e poi matrice Hessiana. Per quanto riguarda il bordo del quadrato, cioè la sua frontiera, allora devi trovare un modo per parametrizzarla e studiare su ogni lato del quadrato (che alla fine sono rette parallele agli assi) l'eventuale presenza di max e min. Stando comunque in un compatto tiene presente il teorema di Weierstrass.
Allora, per la precisione l'esercizio richiede massimi e minimi sia all'interno che sul bordo del quadrato..però nei punti interni ho già fatto tutto poichè era richiesto in un punto precedente dell'esercizio e questo l'ho capito..ora resta solo da cercare i punti sul bordo! Però scusa la mia stupidità ma non ho capito bene come agire in questo caso.. 
Quando devi cercare i punti di massimo e di minimo su un compatto ci sono diversi modi per farlo ad esempio parametrizzare il bordo. Parametrizzare significa identificare il bordo tramite una curva nota: una retta, una parabola, un ellisse ecc... Sostanzialmente si introduce un parametro, di solito t, che sarà la nostra nuova incognita e si cerca di esprimere il bordo tramite questo valore. Nel nostro caso, invece, i bordi del quadrato sono delle rette (prova a fare un disegno). Abbiamo quattro rette, due parallele all'asse x e due all'asse y. Bene, trova le equazioni di questa rette, che sono: $y=1,y=-1 , x=1, x=-1$ e ora se per esempio vuoi studiare il problema del max e min sul lato del quadrato identificato dalla retta y=1, non dovrai far altro che studiare max e min lungo la direzione dettata dalla retta y=1, e cioè vado a studiare $f(x,1)=x-x^2$. Questa è una funziona di una sola variabile reale, e trovare i massimi e minimi qui corrisponde a trovarli lungo una delle rette che sono bordo del quadrato.
Spero di essere stato chiaro!
Spero di essere stato chiaro!
Chiarissimo!! Ti ringrazio molto!! Provo subito!!! 
Segui i consigli di Lorin e ti troverai benissimo.
Vorrei aggiungere che i vertici del dominio sono sempre punti singolari sulla frontiera quindi puoi già calcolarti il valore di $ f(x,y) $ in $(1,1)$ $(1,-1)$ $(-1,1)$ $(-1,-1)$
Vorrei aggiungere che i vertici del dominio sono sempre punti singolari sulla frontiera quindi puoi già calcolarti il valore di $ f(x,y) $ in $(1,1)$ $(1,-1)$ $(-1,1)$ $(-1,-1)$
Giusto!
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