Max e min assoluti con vincolo
f(x,y)=x^2+y^2+xy vincolo x^2+3y^2=4
Risposte
Prima accertati che i massimi ed i minimi assoluti esistano; poi basta trovare i punti critici vincolati con il Th dei moltiplicatori di Lagrange, e selezionare quindi gli estremi assoluti.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
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Prof grazie però il risultato del libro mi porta: (-radice di 3 ; 1 fratto radice di 3) e lo stesso punto con i segni opposti che non sono riuscito a trovare! ho trovato solamente (-1;-1) ed (1;1)che sono massimi assoluti.Può cortesemente farmi vedere i calcoli?.
Allora, ho provato a fare un po' di conti, ed effettivamente non vengono molto simpatici. Allora ho preso una strada diversa (tu sei un mio ex-studente di Milano? se si', dovresti ricordare che una volta ne ho parlato). L'insieme in questione e' un ellisse, e l'ho parametrizzato ponendo x=2 sen t e y=2/sqrt(3)cos t, con t libero in [0,2\pigreco]. Ora mettendo il tutto nella funzione si trova una funzione nella sola variabile t. Se derivi e cerchi i punti critici vedrai che escono quelli del testo.
Luca Lussardi
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Purtroppo non sono un suo allievo ma uno studente di ingegneria informatica di Messina con tanti dubbi. Credo che la disturberò frequentemente, approfittando della sua pazienza anche per quesiti che le sembreranno banali, ma che durante il corso non ho approfondito e pertanto le varie casistiche degli esercizi non sono ,per me, di facile accezione.Grazie!!!!
ma le parametriche dell'ellisse non sono x=acost e y=bsent con t da 0 a 2pigreco?
Mi scusi ma la forma non normale qual'è?
Quindi nel mio caso è non normale e pertanto devo porre x=asent e y=bcost? In ogni caso non mi sarebbe mai venuto in mente di fare queste posizioni!!
Quindi nel mio caso è non normale e pertanto devo porre x=asent e y=bcost? In ogni caso non mi sarebbe mai venuto in mente di fare queste posizioni!!
L'ellisse e' una conica, e come tale e' rappresentato da un'equazione di secondo grado in x e y, non necessariamente nella forma che ti ho dato, che e' detta forma normale. C'e' tutta una teoria per il riconoscimento delle coniche. Quando un ellisse e' in forma normale, ha centro nell'origine e vertici sugli assi del riferimento.
Luca Lussardi
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Pertanto ne deduco che quella non normale è l'ellisse traslata?
Ma nel nostro caso mi sembra in forma normale o sbaglio?
Pertanto mi confermi cortesemente che nel mio caso devo porre x=asent e y=bcost! Un ultima domanda e poi non la disturbo piu:
in una eq. differenziale il testo riporta come risultato 2arctg(e^-x)-1 tutto l'argomento fratto 1+(e^-x).
questo risultato mi è venuto ma il testo continua "oppure -pigreco/2 + 2 arctg(e^-x)"!!! cosa ha fatto? i limiti della soluzione uno per x tendente a + infinito e l'altro tendente a 0 sapendo che il problema di Cauchy mi dava come condizioni x=0 e y=0!
cioè alla fine devo fare qualche limite particolare?? Altrimrnti non si spiega quel -pigreco/2 !! Grazie di tutto ed ai prossimi giorni!
Ma nel nostro caso mi sembra in forma normale o sbaglio?
Pertanto mi confermi cortesemente che nel mio caso devo porre x=asent e y=bcost! Un ultima domanda e poi non la disturbo piu:
in una eq. differenziale il testo riporta come risultato 2arctg(e^-x)-1 tutto l'argomento fratto 1+(e^-x).
questo risultato mi è venuto ma il testo continua "oppure -pigreco/2 + 2 arctg(e^-x)"!!! cosa ha fatto? i limiti della soluzione uno per x tendente a + infinito e l'altro tendente a 0 sapendo che il problema di Cauchy mi dava come condizioni x=0 e y=0!
cioè alla fine devo fare qualche limite particolare?? Altrimrnti non si spiega quel -pigreco/2 !! Grazie di tutto ed ai prossimi giorni!
Traslata e/o ruotata. Nel nostro caso bastava dividere per 4 per avere la forma normale, e poi porre x=asen t e y=b cos t, essendo x^2/a^2+y^2/b^2=1 la forma normale dell'ellisse.
Quanto all'ultima parte ho capito poco... comunque se il risultato torna non e' necessario cambiare forma come fa il testo.
Luca Lussardi
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Quanto all'ultima parte ho capito poco... comunque se il risultato torna non e' necessario cambiare forma come fa il testo.
Luca Lussardi
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Le chiedo scusa per la poca precisione con cui ho scritto il testo e la ringrazio per il chiarimento sull'ellisse!! A presto!
Le parentesi date da inthy non corrispondono a quelle usate da te; ma se il risultato torna forse inthy ha sbagliato a metterle...
Luca Lussardi
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Dopo avere studiato quasi tutta la notte (amo studiare di notte), rieccomi con i miei dubbi.Intanto grazie anche ad archimede; si il risultato è quello,certamente non sono stato bravo a postarlo ed ho fatto impazzire il prof... comunque:
Ancora sull'ellisse:sicuramente leggo male ma i miei dubbi permangono.
Abbiamo detto che la forma normale dell'ellisse è: x^2 + y^2 = 1 pertanto la posizione delle parametriche dovrebbe essere per quanto ne sappia x=acost ed y=bsent. Perchè prof. (dato che dividendo per 4 la mia ellisse è in forma normale), lei mette la posizione x=asent ed y=bcost ???????? Non abbiamo detto che questa posizione vale per quella nono normale!!!!!
Ancora sull'ellisse:sicuramente leggo male ma i miei dubbi permangono.
Abbiamo detto che la forma normale dell'ellisse è: x^2 + y^2 = 1 pertanto la posizione delle parametriche dovrebbe essere per quanto ne sappia x=acost ed y=bsent. Perchè prof. (dato che dividendo per 4 la mia ellisse è in forma normale), lei mette la posizione x=asent ed y=bcost ???????? Non abbiamo detto che questa posizione vale per quella nono normale!!!!!
data l'ellisse x^2/a^2+y^2/b^2=1 , la sua equazione parametrica è
x=a cost y=b sent con t che varia da 0 a 2pigreco.
x=a cost y=b sent con t che varia da 0 a 2pigreco.
Inthy io ho provato a fare a mano il problema di Lagrange da te posto(effettivamente Luca aveva ragione,i calcoli non sono semplicissimi..)comunque non mi trovo con le due soluzione del libro (ossia il Punto A [rad3 ; 1/rad3] e Punto B [-rad3 ; 1/rad3]
come puoi notare i segni mi sono venuti discordi dalla tua soluzione,probabilmente mi sono portato dietro un errore di segno che controllerò più tardi.
Ciò che non capisco però è la tua soluzione (punto [-1;-1] punto [1;1])
quelli da dove saltano fuori?io svolgendo in x la 1° (der parz in x della lagrangiana) che poi sostituisco nella 2° ottenendo un sist in y,lambda che mi fa saltare la condizione (già raccolta):
y(12lambda^2+16lambda+5)=0
questo prodotto mi da le due condizioni (il sist di 2° grado in lambda mi da esattamente i punti della soluzione del tuo libro)
poi ho anche lo condizione y=0 (mi segui) da cui ottengo (punto (2;0) e punto (-2;0)
in conclusione proprio non capisco il risultato da te ottenuto..poi dirmi qlc a riguardo?
Ciao.
Marvin
come puoi notare i segni mi sono venuti discordi dalla tua soluzione,probabilmente mi sono portato dietro un errore di segno che controllerò più tardi.
Ciò che non capisco però è la tua soluzione (punto [-1;-1] punto [1;1])
quelli da dove saltano fuori?io svolgendo in x la 1° (der parz in x della lagrangiana) che poi sostituisco nella 2° ottenendo un sist in y,lambda che mi fa saltare la condizione (già raccolta):
y(12lambda^2+16lambda+5)=0
questo prodotto mi da le due condizioni (il sist di 2° grado in lambda mi da esattamente i punti della soluzione del tuo libro)
poi ho anche lo condizione y=0 (mi segui) da cui ottengo (punto (2;0) e punto (-2;0)
in conclusione proprio non capisco il risultato da te ottenuto..poi dirmi qlc a riguardo?
Ciao.
Marvin
Luca tu quando hai risolto il problema (anche se non l'hai fatto con Lagrange) i tuoi risultati erano quelli proposti?
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