Max e min assoluti
Salve a tutti. Ho dei dubbi riguardo un esercizio sui massimi e minimi a duevariabili. L esercizio e` il seguente $ (x^2+x+y^2)log(x^2+x+y^2) $
Ho calcoltato il dominio della funzione e mi viene l esterno della circonferenza di centro $ (-1/2,0) $ e raggio $ 1/2 $
Ho calcolato i punti critici e non ottengo punti, e non ottengo punti nemmeno tra i punti di non derivabilita`.
Cerco allora punti nella frontiera del dominio e quindi parametrizzo la circonferenza; quando mi calcolo la restrizione della funzione alla circonferenza mi viene semplicemente un numero. Che cosa posso dire in questa situazione? Che non ci sono punti di max o di min nemmeno in questo caso?
N.B. io ho scritto la funzione come composizione di funzioni,cioe` $ F(x,y)=h(g(x,y)) $ dove $ h(t)=tlogt $ e $ g(x,y)=x^2+x+y^2 $ . Cosi facendo mi limito a studiare la g tenendo conto di quello che fa la h nel dominio. Gli unici punti che mi vengono sono $ x^2+x+y^2=1/e $ che sono punti di min assoluti per f.
Ho calcoltato il dominio della funzione e mi viene l esterno della circonferenza di centro $ (-1/2,0) $ e raggio $ 1/2 $
Ho calcolato i punti critici e non ottengo punti, e non ottengo punti nemmeno tra i punti di non derivabilita`.
Cerco allora punti nella frontiera del dominio e quindi parametrizzo la circonferenza; quando mi calcolo la restrizione della funzione alla circonferenza mi viene semplicemente un numero. Che cosa posso dire in questa situazione? Che non ci sono punti di max o di min nemmeno in questo caso?
N.B. io ho scritto la funzione come composizione di funzioni,cioe` $ F(x,y)=h(g(x,y)) $ dove $ h(t)=tlogt $ e $ g(x,y)=x^2+x+y^2 $ . Cosi facendo mi limito a studiare la g tenendo conto di quello che fa la h nel dominio. Gli unici punti che mi vengono sono $ x^2+x+y^2=1/e $ che sono punti di min assoluti per f.
Risposte
Non capisco perchè hai studiato la restrizione di $f$ alla frontiera del dominio, dato che in quei punti $f$ non è definita...
Infatti la restrizione alla circonferenza di equazione $x^2+x+y=0$ è
\[g(t)=\left(-\dfrac{\cos t}{2}+\dfrac{1}{4}\right) \log \left(-\dfrac{\cos t}{2}+\dfrac{1}{4}\right)\]
ma per ogni $t$ tra $0$ e $2 pi$
\[\left(-\dfrac{\cos t}{2}+\dfrac{1}{4}\right)<0\]
per cui il $\log$ non esiste.
Infatti la restrizione alla circonferenza di equazione $x^2+x+y=0$ è
\[g(t)=\left(-\dfrac{\cos t}{2}+\dfrac{1}{4}\right) \log \left(-\dfrac{\cos t}{2}+\dfrac{1}{4}\right)\]
ma per ogni $t$ tra $0$ e $2 pi$
\[\left(-\dfrac{\cos t}{2}+\dfrac{1}{4}\right)<0\]
per cui il $\log$ non esiste.
se hai letto tutto il messaggio avrai letto che non ho studiato la funzione per interno ma solo la funzione g. poi il fatto che sostituendo alla f questa non esiste è un altro discorso. volevo semplicemente sapere come ci si comporta quando la restrizione alla frontiera viene un numero.
grazie comunque per la risposta
grazie comunque per la risposta
Scusa, o sono io che non ho capito quello che vuoi dire, oppure ti sei espresso in modo scorretto.
In che senso ti viene un numero la restrizione alla circonferenza?? Io ho svolto l'esercizio (piu che altro ho calcolato la restrizione) e la restrizione (che comunque non avrebbe senso calcolare) è la funzione $g(t)$ del post precedente, non un numero...Potresti mostrarmi i passaggi per favore? Grazie
In che senso ti viene un numero la restrizione alla circonferenza?? Io ho svolto l'esercizio (piu che altro ho calcolato la restrizione) e la restrizione (che comunque non avrebbe senso calcolare) è la funzione $g(t)$ del post precedente, non un numero...Potresti mostrarmi i passaggi per favore? Grazie
ok ti mostro quello che ho fatto.
ho parametrizzato la circonferenza che viene:
$ { ( x=-1/2 + cost ),( y=sent ):} $ con $ t in [0,2pi] $
la funzione $ g(x,y)=x^2+x+y^2 $ ristretta diventa:
$ (-1/2+cost)^2-1/2+cost+sen^2t=1/4+cos^2t-cost+1/2+cost+sen^2t=3/4 $
comunque indipendentemente dall'esercizio (che era un esempio per far capire la mia problematica) mi chiedevo cosa bisogna fare nel caso in cui la restrizione della funzione alla frontiera risulti un numero.
PS
$ (-cost/2+1/4)<0 $ vale solo per $ cost>1/2 $
quindi non è sempre negativo.
ho parametrizzato la circonferenza che viene:
$ { ( x=-1/2 + cost ),( y=sent ):} $ con $ t in [0,2pi] $
la funzione $ g(x,y)=x^2+x+y^2 $ ristretta diventa:
$ (-1/2+cost)^2-1/2+cost+sen^2t=1/4+cos^2t-cost+1/2+cost+sen^2t=3/4 $
comunque indipendentemente dall'esercizio (che era un esempio per far capire la mia problematica) mi chiedevo cosa bisogna fare nel caso in cui la restrizione della funzione alla frontiera risulti un numero.
PS
$ (-cost/2+1/4)<0 $ vale solo per $ cost>1/2 $
quindi non è sempre negativo.
Perdonami, ti ho detto una cretinata 
Cmq hai sbagliato semplicemente la parametrizzazione della circonferenza. Devi moltiplicare $\sin t$ e $\cos t$ per il raggio, cioè $1/2$. Io invece ho sbagliato i calcoli:
\[(\dfrac{\cos t}{2}-1/2)^2+(\dfrac{\cos t}{2}-1/2)+(\dfrac{\sin t}{2})^2=0\qquad \forall t\]
Quindi la restrizione di $f$ alla circonferenza verrebbe
\[g(t)=0 \cdot \log(0)\]
cioè un qualcosa che non esiste.
Nel caso restrizione di una funzione, definita in un insieme $K \subset RR^2$ alla frontiera $\partial K$ ti viene un numero, vuol dire semplicemente che la funzione è costante su $\partial K$. Quindi per stabilire la natura dei punti che si trovano sulla frontiera, dovresti applicare la definizione di punto di estremo.
In ogni caso tutto questo discorso è inutile. Lo studio di $f$ su $\partial K$ è utile quando il dominio non coincide con il campo d'esistenza di $f$. Ad esempio, prendi la funzione $f(x,y)=xy$. Se ti viene chiesto di studiarla in tutto il suo campo d'esistenza ($RR^2$ privato degli assi cartesiani), non ci sono problemi: trovi punti critici e ne determini la natura con lo studio dell'hessiano o applicando la definizione. Se invece ti viene chiesto di studiarla in un sottoinsieme del campo d'esistenza, ad esempio il quadrato di vertici $(1,1) , (-1,1), (-1,-1), (1,-1)$ qui le cose cambiano: fai lo stesso studio di prima, naturalmente considerando solo i punti critici interni al quadrato, e poi studi la restrizione di $f$ ad bordo del quadrato.
Cmq hai sbagliato semplicemente la parametrizzazione della circonferenza. Devi moltiplicare $\sin t$ e $\cos t$ per il raggio, cioè $1/2$. Io invece ho sbagliato i calcoli:
\[(\dfrac{\cos t}{2}-1/2)^2+(\dfrac{\cos t}{2}-1/2)+(\dfrac{\sin t}{2})^2=0\qquad \forall t\]
Quindi la restrizione di $f$ alla circonferenza verrebbe
\[g(t)=0 \cdot \log(0)\]
cioè un qualcosa che non esiste.
Nel caso restrizione di una funzione, definita in un insieme $K \subset RR^2$ alla frontiera $\partial K$ ti viene un numero, vuol dire semplicemente che la funzione è costante su $\partial K$. Quindi per stabilire la natura dei punti che si trovano sulla frontiera, dovresti applicare la definizione di punto di estremo.
In ogni caso tutto questo discorso è inutile. Lo studio di $f$ su $\partial K$ è utile quando il dominio non coincide con il campo d'esistenza di $f$. Ad esempio, prendi la funzione $f(x,y)=xy$. Se ti viene chiesto di studiarla in tutto il suo campo d'esistenza ($RR^2$ privato degli assi cartesiani), non ci sono problemi: trovi punti critici e ne determini la natura con lo studio dell'hessiano o applicando la definizione. Se invece ti viene chiesto di studiarla in un sottoinsieme del campo d'esistenza, ad esempio il quadrato di vertici $(1,1) , (-1,1), (-1,-1), (1,-1)$ qui le cose cambiano: fai lo stesso studio di prima, naturalmente considerando solo i punti critici interni al quadrato, e poi studi la restrizione di $f$ ad bordo del quadrato.
giusto ho dimenticato il raggio. Comunque tornato al problema principale tu dici che dovrei applicare la definizione di estremo. cioé devo verificare la condizione:
$ f(x,y)
$ f(x,y)
Si piu o meno precisamente, devi verificare (per dimostrare ad esempio che $\mathbf{P}=(x_0,y_0)$ è di massimo locale) che $\exists B$ intorno di $\mathbf{P}$ (quindi, in questo caso,un qualsiasi sottoinsieme di $RR^2$ che contenga un cerchio privato del bordo di centro $\mathbf{P}$ e raggio $\varepsilon>0$) tale che $\forall (x,y) \in B\cap X$ (denoto con $X$ l'insieme di definizione di $f$) si abbia
\[f(\mathbf{P})\geq f(x,y)\]
Questa è la definizione di massimo locale debole. Sostituendo "$\geq$" con "$>$" ottieni quella di massimo locale forte.
precisamente, devi verificare (per dimostrare ad esempio che $\mathbf{P}=(x_0,y_0)$ è di massimo locale) che $\exists B$ intorno di $\mathbf{P}$ (quindi, in questo caso,un qualsiasi sottoinsieme di $RR^2$ che contenga un cerchio privato del bordo di centro $\mathbf{P}$ e raggio $\varepsilon>0$) tale che $\forall (x,y) \in B\cap X$ (denoto con $X$ l'insieme di definizione di $f$) si abbia\[f(\mathbf{P})\geq f(x,y)\]
Questa è la definizione di massimo locale debole. Sostituendo "$\geq$" con "$>$" ottieni quella di massimo locale forte.
certo è quella la definizione. mi sono semplicemente limitato a scrivere la disequazione senza intorno etc. ok grazie comunque!
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