Max e min assoluti

[gcan]

Ho utilizzato il metodo di lagrange, ma sono riuscita a trovare solo il punto di min assoluto e non riesco a trovare quello di max.
Questa e la mia funzione $f(x,y)=2x^2+y^2-y$ e l'insieme $E={x^2+y^2/9<=1$
Il punto di min è (0,1/2) quello di max dovrebbe essere (0,-3)
Come faccio a trovarlo??
Grazie

[gcan]

Cioè dovrei trovare i punti critici e sostituirli alla funzione?
Però facendo così non ridà neanche perché l'unico punto critico è (0,1/2) che è punto di minimo relativo!
Si,l'esercizio dice che è minimo assoluto!

[gcan]

TeM potresti aiutarmi a mettere chiarezza?
Dunque quando mi si chiede di trovare i punti di massimo e di minimo assoluto su una curva io devo vedere, nel caso del maggiore/minore uguale, sia i punti interni che sulla frontiera dell'insieme, giusto? Quando uso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange studio solo i punti sulla frontiera? (Quindi dovrebbero essere tutti eventuali punti di massimo assoluto?) Invece, quando studio i punti critici (uguagliando il gradiente a zero), questi anche devono essere considerati come eventuali punti di max o min assoluti (soprattutto di minimo?)?
Inoltre, in generale, quando ho questa tipologia di richiesta negli esercizi, posso utilizzare solo il metodo dei moltiplicatori di lagrange e il metodo parametrico (solo se riesco a parametrizzare l'insieme) , giusto? (Ed eventualmente il metodo grafico?)
Grazie mille per la disponibilità

[gcan]

Chiarissimo
Un solo mio problema, non riesco a trovare i punti P2,3,4,5!
Questo è il mio sistema $ { ( 4x-lambda(2x)=0 ),( 2y-1-lambda(2/9y)=0),( -(x^2+y^2-1)=0 ):} $
Dalla prima equazione trovo x=0 e $lambda=2$, dalla seconda y=1/2 e $lambda=9$ dovrei sostituire tutto nella terza ma non esce l'uguaglianza!
Cosa sbaglio?

[robying1]

Salve,
anche io sono alle prese con esercizi simili.
Spero di poter "utilizzare" questo post invece di aprirne uno nuovo...

Non conosco il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Porto un esempio di esercizio già svolto:

$ f(x,y)=2x^2+y^2+2x $

limitata a
$ {(x,y) in R^2: |x|+|y| <= 1} $

Si tratta di un quadrato di lato \( \surd 2 \)

Calcolo le derivate parziali, le eguaglio a zero e trovo un punto "candidato"
\( \frac{\partial^{}f(x,y)}{\partial x} =0 \)
e
\( \frac{\partial^{}f(x,y)}{\partial y} =0 \)

Ottengo
\( \frac{\partial^{}f(x,y)}{\partial x} = 4x+2=0 \)
e
\( \frac{\partial^{}f(x,y)}{\partial y} = 2y=0 \)
Quindi il primo candidato sarà
$(-1/2,0)$
Poi scrivo le "restrinzioni" date dalle 4 rette
\( f(x,1-x)=3x^2+1 \)
che derivata diventa
6x
La stessa cosa succede per
\( f(x,x-1)=3x^2+1 \)
ottenendo i punti
$(0,1)$ e $(0,-1)$
che però avrei comunque preso in considerazione in quanto punti angolosi del dominio della limitazione
Mentre da
\( f(x,-1-x)=3x^2+4x+1 \)
e
\( f(x,x+1)=3x^2+4x+1 \)
derivando ottengo
6x+4 per entrambe
da cui i punti
$(-2/3,-1/3)$ e $(-2/3,1/3)$
Da cui per confronto di risultati ottengo che

$(-1/2,0)$ è il min assoluto
e
$(1,0)$ è il max assoluto

Ci sono errori in questo procedimento?

[robying1]

Adesso però il mio problema nasce con esercizi "diversi" come questo:

\( f(x,y)=x^2-4xy+4y^2 \)

limitate a

$ {(x,y) in R^2 : x^2/4+y^2/3<= 1} $

Io procedo al solito:
calcolo le derivate
$ (partial f(x,y))/(partial x) =2x-4y=0 $
da cui
$x=2y $ [ma qua x dipende da y???]

e
$ (partial f(x,y))/(partial y) =-4x+8y=0 $
da cui
$y=1/2x $ [ma qua y dipende da x???]

Quindi sostituisco, ad esempio, il primo risultato
$x=2y $
nella funzione che limita il dominio
$x^2/4+y^2/3<= 1 $

ed ottengo
\( y=\sqrt[]{{3}}\ /2 \)
e
\( x=\sqrt[]{{3}{}} \)

fin qui ho sbagliato?

E poi come vado avanti?
Da questa equazione
$x^2/4+y^2/3<= 1 $
mi devo ricavare la $x$ ?

[Camillo]

Max / min assoluti per $f(x,y)= x^2-4xy+4y^2 =(x-2y)^2 $ e così si vede subito che $f(x,y)>=0 $ ed è $f(x,y)=0 $ per $x=2y $ a dire $y=x/2$. Quindi tutti i punti di questa retta interni all'ellisse o sul suo bordo sono punti di minimo assoluto e la funzione vale $0$.
Devo cercare ora gli eventuali punti di max assoluto sul bordo dell'ellisse usando i moltiplicatori di Lagrange.

Si ha quindi il sistema :
$2x-4y-lambda*x/2=0$
$ -4x+8y-lambda*2y/3=0 $
$x^2/4+y^2/3=1 $
Facedno qualche conto si ottiene la soluzione $y=0 $ e quindi $x=+-2 $ Si ha pertanto $f(2,0)=f(-2,0)=4 $ sono due punti candidati come punti di max assoluto.
Va completato per vedere se il sistema ha altre soluzioni....

[robying1]

Intanto grazie della risposta

"Camillo":Max / min assoluti per $f(x,y)= x^2-4xy+4y^2 =(x-2y)^2 $ e così si vede subito che $f(x,y)>=0 $ ed è $f(x,y)=0 $ per $x=2y $ a dire $y=x/2$. Quindi tutti i punti di questa retta interni all'ellisse o sul suo bordo sono punti di minimo assoluto e la funzione vale $0$.

Ma quindi quali "punti candidati" tiro fuori dall'equazione

$x=2y$ ? Mi manca qualche passaggio?

"Camillo":
Devo cercare ora gli eventuali punti di max assoluto sul bordo dell'ellisse usando i moltiplicatori di Lagrange.

Si ha quindi il sistema :
$2x-4y-lambda*x/2=0$
$ -4x+8y-lambda*2y/3=0 $
$x^2/4+y^2/3=1 $
Facedno qualche conto si ottiene la soluzione $y=0 $ e quindi $x=+-2 $ Si ha pertanto $f(2,0)=f(-2,0)=4 $ punti candidati come punti di max assoluto.
Va completato per vedere se il sistema ha altre soluzioni....

Camillo, io non conosco il metodo dei moltiplicatori di Lagrange...come posso procedere in modo alternativo?
Generalmente seguivo la procedura che ho illustrato nel post precedente.
Non è adatta a svolgere questo esercizio?

[robying1]

Come prima cosa grazie TeM anche a te per l'aiuto.

"TeM":[quote="robying"]Generalmente seguivo la procedura che ho illustrato nel post precedente.
Non è adatta a svolgere questo esercizio?

Va bene anche quella, anche se ti inviterei a studiare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange dato che molte volte è
di grande aiuto (qualche risposta sopra a questa trovi un esercizio praticamente svolto per intero; non è per nulla difficile come metodo, solo un po' calcoloso). [/quote]
Lo terrò sicuramente presente, ma non vorrei che poi il Prof. mi chiedesse come mai non utilizzavo il sistema che lui ci ha insegnato

"TeM":
Ho fatto tutti i conti sul primo problema e l'unica incongruenza che ho riscontrato è nella scrittura del punto di minimo assoluto che risulta essere \((-1/2,\,0)\). Ma dato che se non avessi considerato il meno le conclusioni sarebbero state differenti, presumo sia solo un errore di battitura.

Hai perfettamente ragione, ho già provveduto a correggere il post originale, grazie

"TeM":
Sul secondo problema, volendo riapplicare il metodo parametrico (quello che hai usato per il primo problema), al solito
si comincia con l'annullare il gradiente della funzione. Ciò significa risolvere un sistema di equazioni. Nel tuo caso due equazioni in due incognite. Quello che può turbare è che siano linearmente dipendenti e dunque porgano un'intera retta di punti critici. Niente paura, è sufficiente considerare il segmentino di tale retta interno all'ellisse (per calcolare il loro valore, alla fine, basterà semplicemente valutare \(f(x,\,x/2)\)).

Vediamo se ho capito...
quindi valuto
\( f(x,y) \) in \( (x,x/2) \)
ovvero
\( f(x,x/2)= 2x^2-4xy \)
Da questa ne calcolo le derivate parziali
\( \frac{\partial^{}f(x,x/2)}{\partial x} = 4x-4y=0 \)
e
\( \frac{\partial^{}f(x,x/2)}{\partial y} = -4x=0 \)
ricavando
\( x=0 \)
e
\( y=0 \)
Così (0,0) sarà un punto candidato.
Giusto in questo modo?

"TeM":
[Dall'ottima osservazione fatta notare da Camillo, in questo caso, potresti già affermare che tali punti sono di minimo assoluto.]

Quindi \( (0,0) \) sarà un punto di minimo assoluto?

"TeM":
Per quanto riguarda il bordo, volendo usare il metodo parametrico, tocca passare in coordinate polari ellittiche (trattandosi di un'ellisse), derivare e risolvere un'equazione trigonometrica. Per gli allergici alla trigonometrica non rimane che optare per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange come sopra illustrato, in parte, da Camillo.

Ora ci "lavoro" e vediamo se sono capace a parametrizzare...

[robying1]

"TeM":
Per quanto riguarda il bordo, volendo usare il metodo parametrico, tocca passare in coordinate polari ellittiche (trattandosi di un'ellisse), derivare e risolvere un'equazione trigonometrica. Per gli allergici alla trigonometrica non rimane che optare per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange come sopra illustrato, in parte, da Camillo.

Veniamo alla parametrizzazione, dovrebbe essere:

\( x= atcos\gamma \)
cioè
\( x= 2tcos\gamma \)

e
\( y= btsin\gamma \)
cioè
\( y= \surd 3tsin\gamma \)
poi devo sostituire nel bordo cioè in
$ x^2/4+y^2/3=1 $
ottenendo
$ h(t, gamma)= t^2 cos^2gamma +t^2sin^2gamma =1 $
e adesso dovrei fare le 2 derivate parziali
$ (partial h)/(partial t)=0 $
e
$ (partial h)/(partial gamma )=0 $

[robying1]

"robying":
e adesso dovrei fare le 2 derivate parziali
$ (partial h)/(partial t)=0 $
e
$ (partial h)/(partial gamma )=0 $

Credo di sbagliare qualcosa:
mi vengono rispettivamente
$ t=0 $
e
$ 0=0 $

[robying1]

"TeM":[quote="robying"]Vediamo se ho capito...
quindi valuto
\( f(x,y) \) in \( (x,x/2) \)
ovvero
\( f(x,x/2)= 2x^2-4xy \)

Il fatto è che \(f\left(x,\,\frac{x}{2}\right) = x^2 - 4\cdot x\cdot\frac{x}{2}+4\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^2 = 0 \) da cui segue che i punti di coordinate \(\left(x,\,\frac{x}{2}\right)\) per \(x\in \left(-\sqrt{3},\,\sqrt{3}\right)\) sono tutti con quota nulla. Tale quota, al solito, alla fine dello studio sarà confrontata con quelle
degli altri punti critici e quindi verranno decretati i punti di massimo/minimo assoluti. Bada bene che qualora ci siano più punti (anche infiniti) con quota minima (rispetto a tutte le altre), tutti quanti saranno di minimo assoluto (analogamente di massimo se si tratta della quota massima): non c'è motivo di "preferirne" uno (come ad esempio l'origine degli assi) a discapito di tutti gli altri [/quote]
Quindi se ho ben capito non trovo
1 solo punto
ma tutti i punti sulla retta $ y=x/2 $, che intersecano l'ellisse, con $ x in (-sqrt(3), sqrt(3)) $
Ottenuto questo risultato lo "tengo da parte"? fino a fine esercizio, giusto?

[robying1]

"TeM":
Attento che siamo interessati a parametrizzare il bordo dell'ellisse, ossia una curva, che in quanto tale necessita solamente di un parametro, in questo caso angolare. In particolare, il bordo \(\partial D\) di sostegno \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) può
essere parametrizzato in maniera naturale nel modo seguente: \[ \begin{cases} x = 2\,\cos\theta \\ y = \sqrt{3}\,\sin\theta \end{cases} \; \; \; \; per \; \theta \in [0,\,2\pi) \; . \] A questo punto, per determinare le coordinate di eventuali punti critici per \(f\) su \(\partial D\), è sufficiente porre \[ \frac{d}{d\theta}f\left(2\,\cos\theta,\,\sqrt{3}\,\sin\theta\right) = 0 \; \; \; \; per \; \theta \in [0,\,2\pi) \; . \] Ok

Credo di aver capito (scusa ma ho grosse difficoltà)...


da
\[ \frac{d}{d\theta}f\left(2\,\cos\theta,\,\sqrt{3}\,\sin\theta\right) = 0 \; \; \; \; per \; \theta \in [0,\,2\pi) \; . \]
ottengo
$ 16sinthetacostheta(1+2sqrt(3))=0 $
da cui
$ sintheta=0 $
per
$ theta=0, theta=2pi $
e
$ costheta=0 $
per
$ theta=pi $

ricavando per sostituzione dalle coordinate imposte
$ x=2costheta $
e
$ y=sqrt(3) sintheta $

i punti
$ (2,0);(-2,0);(0,sqrt(3) ) $

Adesso calcolo i valori e determino i max e min assoluti. Giusto?

[robying1]

"TeM":La tecnica in sé è corretta ma l'equazione va risolta con criterio! Vediamo assieme come

Da \[ \frac{d}{d\theta}f\left(2\,\cos\theta,\,\sqrt{3}\,\sin\theta\right) = 0 \; \; \; \; per \; \theta \in [0,\,2\pi) \] segue \[ \begin{cases} 8\,\left(\sin(2\theta) - \sqrt{3}\cos(2\theta)\right) = 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2\theta) - \frac{1}{2}\sin(2\theta) = 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \end{cases} \; \; \Leftrightarrow \] \[ \begin{cases} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\,\cos(2\theta) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\,\sin(2\theta) = 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} \cos\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right) = 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \end{cases} \; \; \Leftrightarrow \] \[ \begin{cases} 2\theta+\frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \; \; per \; k \in \mathbb{Z} \\ 0 \le \theta < 2\pi \end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} \theta=-\frac{\pi}{3}+k\pi \; \vee \; \theta = \frac{\pi}{6} + k\pi, \; \; per \; k \in \mathbb{Z} \\ 0 \le \theta < 2\pi \end{cases} \] ossia \[ \theta = \frac{\pi}{6} \; \; \vee \; \; \theta = \frac{2}{3}\pi \; \; \vee \; \; \theta = \frac{7}{6}\pi \; \; \vee \; \; \theta = \frac{5}{3}\pi \; . \] Prova a rivedere i conti e magari i passaggi che ti ho mostrato

Grazie TeM.
Complimenti per la disinvoltura con cui padroneggi le formule di prostaferesi ed altre...
Con molta difficoltà ho capito come arrivare ai passaggi che mi hai scritto.
Se questi passaggi li avessi dovuti tirar fuori io...ci avrei impiegato 1 millennio

Per ciò che riguarda la parte finale e i risultati (valori di $ theta $ ),
devo inserirli nelle equazioni
$ x=2costheta $
e
$ y=sqrt(3) sintheta $
per ottenere i punti candidati
(correggimi se sbaglio)
$ (sqrt(3),sqrt(3)/2 ), (-sqrt(3),-sqrt(3)/2 ), (1,3/2),(-1,-3/2) $

Quindi quanto scritto prima da me era completamente sbagliato

Adesso posso individuare i punti di max e min assoluti? O mi manca ancora qualcosa che non conosco?

[grazie per la pazienza ]

[robying1]

"TeM":
[quote="robying"]per ottenere i punti candidati
(correggimi se sbaglio)
$ (sqrt(3),sqrt(3)/2 ), (-sqrt(3),-sqrt(3)/2 ), (1,3/2),(-1,-3/2) $

Occhio ai segni negli ultimi due punti. Infatti si ha $(-1,3/2),(1,-3/2)$.[/quote]
Scusami , sì era proprio un errore di calcolo...avevo valutato male l'angolo.

"robying":Adesso posso individuare i punti di max e min assoluti? O mi manca ancora qualcosa che non conosco?

Certamente, dato che è applicabile il teorema di Weierstrass, ciò lo si può fare per semplice confronto [/quote]

Quindi, riepilogando, i punti "candidati" sono gli ultimi 4 che sono stati scritti, ovvero:
$ (sqrt(3),sqrt(3) /2 ) ; (-sqrt(3),-sqrt(3) /2 ) $
entrambi i punti si trovano sulla retta
$ y=x/2 $
quindi abbiamo preso in considerazione anche tutti quelli della retta? (o mi devo trovare altri valori particolari, questi sono i valori di intersezione con il $ partial D $ ...?), giusto?
Gli altri 2 punti
$ (1,-3/2);(-1,3/2) $
sono invece le intersezioni della retta perpendicolare a
$ y=x/2 $
In conclusione:
$ f(1,-3/2)=f(-1,3/2)= 16 $ punti di max assoluto
mentre
$ f(sqrt(3),sqrt(3) /2 ) = f(-sqrt(3),-sqrt(3) /2 )=0 $ punti di min assoluto

[robying1]

Adesso ho provato un nuovo esercizio:
$ f(x,y)=(y+1)^2-x^4/2 $
limitata a
$ {(x,y) in R^2 : 0>= y>= x^2-4} $
Devo fare qualcosa per "limitare" $ 0>= y $ ?
Oppure avanzo tranquillamente...
Tramite le derivate parziali di
$ f(x,y) $
ottengo il punto
$ (0,-1) $
Poi dalla restrizione ricavo
$ x^2=y+4 $
Sostituisco, derivo ed ottengo il punto
$ (sqrt(6),2) $
Questi sono gli unici 2 candidati
[devo prendere in considerazione anche il vertice della parabola? Non credo, perchè non è un punto angoloso, giusto?]

In conclusione
$ f(0,-1)=0 $ punto di max assoluto
e
$ f(sqrt(6),2)=-9 $ punto di min assoluto

Come sono andato?

[robying1]

Per questo esercizio
$ f(x,y)=4x^2+4y^2-12y+9 $
limitato a
$ {(x,y) in R^2:0<= y<= 4-x^2} $

Intanto posso dire che il dominio non è superiormente limitato quindi la funzione non avrà un max assoluto, giusto?

Calcolando
$ (partial f(x,y))/(partial x) =(partial f(x,y))/(partial y)=0 $
ottengo il punto
$ (0,3/2) $ primo "candidato"
Poi "restringo" la funzione al dominio con
$ y=0 $
trovando il punto
$ (0,0) $ secondo "candidato"
poi con
$ y=4-x^2 $
trovo il punto
$ (sqrt(2) ,2) $ terzo "candidato"

In conclusione ottengo
$ f(0,3/2)=0 ; f(0,0)= 9 ; f(sqrt(2) ,2)=9 $
da cui
$ (0,3/2) $ punto di min assoluto
Dovrebbe essere corretto, giusto?

[robying1]

Mentre con questo esercizio ho dei "problemi":

$ f(x,y)=x^2+y^2+6x-6y+18 $
limitato a
$ K={(x,) in R^2:xy>= 4} $

Se non erro, si tratta di 2 rami di iperbole con vertici in
$ (2,2) ,(-2,-2) $

Studiando
$ (partial f(x,y))/(partial x) =0 $ e $ (partial f(x,y))/(partial y) =0 $
ottengo il punto
$ (-3,3) $ che però è fuori dal dominio

Dalla limitazione ricavo
$ x=4/y $
sostituendo nella funzione data che diventa
$ f(x,y(x))= 16/y^2+y^2+24/y-6y+18 $

non so più come andare avanti...
L'unica cosa che riesco a "vedere" è che la funzione $ f(x,y) $ dovrebbe essere una circonferenza degenere (con raggio =0), corretto? Mi può servire a qualcosa?
Dovrei parametrizzare la circonferenza?

[robying1]

"TeM":[quote="robying"]Quindi, riepilogando, i punti "candidati" sono gli ultimi 4 che sono stati scritti

Non esattamente; ci siamo quasi, occorre ordinare a dovere le conclusioni che in quanto tali sono fondamentali.

Il dominio \(E\) in cui stiamo cercando i punti di massimo/minimo assoluti per \(f\) può essere visto come \[ E = \overset{o}{E} \cup \partial E \cup \left\{spigoli_{\partial E}\right\} \] [/quote]
Perfetto, ci sono.

"TeM":
dove ovviamente il terzo insieme è "vuoto" mentre nel primo abbiamo scovato i punti critici di coordinate \(\left(x,\,\frac{x}{2}\right)\) per \(x\in\left(-\sqrt{3},\,\sqrt{3}\right)\) e nel secondo i punti \(\left(\pm\,\sqrt{3},\,\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(\left(\pm 1,\,\mp\frac{3}{2}\right)\). Dato che possiamo applicare il teorema di Weierstrass, osservando che si ha \[ f\left(x,\,\frac{x}{2}\right) = 0, \; \; f\left(\pm\,\sqrt{3},\,\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0, \; \; f\left(\pm 1,\,\mp\frac{3}{2}\right) = 16 \] per semplice confronto possiamo concludere che \[ \underset{E}{\min} f\left(x,\,\frac{x}{2}\right) = 0 \; \; \; (per \; x\in[-\sqrt{3},\,\sqrt{3}])\,, \; \; \; \; \; \; \underset{E}{\max} f\left(\pm 1,\,\mp\frac{3}{2}\right) = 16 \; . \] Chiaro?

Capito, ora mi è chiaro

[robying1]

"TeM":
Ma hai disegnato \(D\)??? Disegnandolo diventa tutto molto più semplice, soprattutto quando si sta imparando!

Sì, ma lo avevo sbagliato
Adesso (riposato) l'ho ridisegnato e mi sono accorto che è limitato e chiuso

"TeM":A quel punto \(D\) lo vedi come l'unione di quei "tre famosi" insiemi: interno, bordo, spigoli del bordo. Per scovare i punti interni a \(D\) occorre annullare il gradiente di \(f\) e considerare quelli interni a \(D\): gli altri vanno trascurati. Sul bordo, al solito, si parametrizzano tutti gli archi di curva che lo compongono, escludendo gli spigoli.

Sul primo punto nessun problema, sei stato chiarissimo.
Per la parametrizzazione delle curve:
Parametrizzo x e y, quindi li vado a sostituire nella funzione "originale" da studiare
Vediamo nel caso della funzione
$ f(x,y)=y^2+2y+1-x^4/2 $
parametrizzo la parabola con
$ (t,4+t^2) $
ottenendo
$ t^4/2+10t^2+25 $
derivo sul parametro
$ (partial f(t,4+t^2))/(partial t) =0 $
ottengo
$ 2t^3+20t $
da cui
$ t=0 $ e $ t=sqrt(-10) $
...da cui capisco di aver sbagliato, ma dove? ...
Sul terzo punto (spigoli del dominio D)
i punti $ (2,0);(-2,0) $ li devo considerare come spigoli?

"TeM":
Alla fine, qualora sia applicabile il teorema di Weierstrass, confrontando tutti i punti critici scovati nell'interno e sul bordo (includendo gli spigoli, qualora ve ne siano), si decretano i punti di massimo e minimo assoluti per \(f\) vincolati a \(D\).

La forma di \(D\) è circa un "sorriso", giusto?
Quindi è limitato e chiuso, posso applicare Weierstrass

"TeM":
Dai, cerca di seguire tale algoritmo in maniera più precisa possibile: così facendo le possibilità di errore diminuiscono drasticamente!!

L'algoritmo l'ho capito, è di una chiarezza unica.
Devo capire ancora bene una cosa:
parametrizzo la curva (oppure ogni parte di curva del dominio) e poi applico alla funzione da studiare? Devo procedere in questo modo?

[robying1]

"TeM":
[quote="robying"]Vediamo nel caso della funzione
$ f(x,y)=y^2+2y+1-x^4/2 $
parametrizzo la parabola con
$ (t,4+t^2) $

Per prima cosa non capisco perché tu abbia dovuto sviluppare il quadrato presente in \(f\): ti stai solo complicando la vita [/quote]
D'accordo, facciamo ordine:
la parametrizzazione corretta è
$ (t, t^2-4) $ con $ t in (-2,2) $
e, non sviluppando il quadrato, da parametrizzazione ottengo
$ (t^2-4)^2+2(t^2-4)+1-t^4/2 $
derivando e raccogliendo arrivo a
$ 4t[(t^2-4)+(1-t^2/2)] $
Adesso devo porre
$ 4t=0 $ da cui $ t=0 $
$ (t^2-4)=0 $ da cui $ t=+-2 $ da escludere perchè $ t in (-2,2) $ con gli estremi esclusi
$ (1-t^2/2)=0 $ da cui $ t=+-sqrt(2) $

"TeM":
[quote="robying"]La forma di \(D\) è circa un "sorriso", giusto?
Quindi è limitato e chiuso, posso applicare Weierstrass

Quello che dici è parzialmente corretto. Infatti quelle sono le condizioni imposte da quel teorema sul dominio; non deve però essere scordata la condizione sulla funzione che in quel dominio deve essere continua. Dato che ciò è verificato allora quel teorema è applicabile. In ogni modo, lo scrivi pure tu: si tratta di un insieme chiuso. Bene, ma sarai anche d'accordo che parametrizzando solamente l'arco di parabola non vai a definire un insieme chiuso! Insomma, quello che ti voglio dire è che non hai parametrizzato il segmento \((t,\,0)\) per \(t\in(-2,\,2)\) col quale sì che vai a definire un insieme chiuso: \(D\) per l'appunto [/quote]
Quindi parametrizzando il segmento \((t,\,0)\) per \(t\in(-2,\,2)\)
ottengo ancora una volta
$ (1-t^2/2)=0 $ da cui $ t=+-sqrt(2) $
da cui i punti candidati
$ (sqrt(2),0 $ e $ (-sqrt(2),0) $
In conclusione i punti candidati sono
$ (0,-4) $ [oppure tutto il segmento $ y=0 $ con $ x in (-2,2) $ ???...dubbio ]
punto di max assoluto
$ (sqrt(2),-2 $ , $ (-sqrt(2),-2) $ , $ (sqrt(2),0 $ e $ (-sqrt(2),0) $
punti di min assoluto