Max e min

[melli13]

Come trovare senza calcolatrice:
-max${2^(10!), 1000000^200, (1000!)^2}$
-min${2^(10!), 1000000^200, (1000!)^2}$

Io sono arrivata a dire che il max è $2^(10!)$ e il min è $1000000^200$. Vediamo come...!
Metto in confronto $1000000^200$ e $(1000!)^2$
$1000000^200=100^400$
Ora metto entrambi i membri sotto radice e quindi ottengo da un lato $1000^200$ e dall'altro $1000!$
So che $n^b$ va all'infinito più lentamente di $n!$, per un teorema, e quindi $(1000!)^2$>$1000000^200$

Ora metto a confronto $2^(10!)$ e $(1000!)^2$. Metto entrambi sotto radice e ottengo $2^((10!)/2)$ e dall'altro lato $1000!$.
Ma $2^((10!)/2)=1024^((9!)/2)$ e sicuramente quest'ultimo è più grande perchè diciamo che i due numeri hanno quasi la stessa base, ma questo ha un esponente fattoriale...invece l'altro ha il fattoriale alla base...è giusto??solo che non c'è nulla di dimostrato....è fatto un po' così a occhio e non so neanche se sia corretto. Voi che ne dite?Come fareste questo esercizio?Grazie mille....

[Rigel1]

Vediamo un po:
$n_2 = 1000000^{200} = 10^{1200}$;
$n_1 = 2^{10!} = 1024^{9!} > 10 ^{3\cdot 9!}$ (lasciamolo così per il momento)
$n_3 = (1000!)^2 < (1000^1000)^2 = 10^{6000}$.
Si verifica senza grossa fatica, anche senza calcolare esattamente $9!$, che $3\cdot 9! > 6000$.
Di conseguenza $n_1$ è il più grande dei tre.
Si tratta ora di confrontare $n_2$ ed $n_3$: dalla formula di Stirling sappiamo che $n! > (n/e)^n$, dunque
$1000! > (1000 / e)^1000 > 100^{1000} = 10^{2000}$, da cui
$n_3 = (1000!)^2 > 10^{4000} > n_2$.

[melli13]

Siamo arrivati alla stessa conclusione...!Ma il tuo ragionamento è un po' più formale...e quindi da preferire...!Grazie...