Matrice jacobiana

[asker993]

Ciao a tutti, sto studiando le funzioni a più variabili a valori vettoriali e, in particolare ho studiato la matrice jacobiana, tale che permette in modo più compatto\evidente di capire se una funzione $f:R^n->R^m$ è differenziabile oppure no, lo è se le derivate che compongono la matrice esistono e sono continue (un analogo con le funzioni $f:R^n->R$ solo che dobbiamo diciamo ripetere l'operazione do verifica $m$ volte)...questo quello che ho capito, arriviamo ora al dunque, sul libro di testo dice che la matrice jacobiana è una matrice $m X n$, cioè, sulle righe vi sono le derivate rispetto tutte le variabili di una componente del vettore $f:R^n->R^m$, in modo tale che abbiamo $m$ righe che equivalgono alle componenti del vettore $f$. E finqua ok, poi vado a fare gli esercizi dello stesso libro e vedo che la matrice jacobiana è strutturata come $n X m$ cioè il contrario di quello sulla teoria...dunque, volevo sapere se c'è un motivo o non cambia assolutamente nulla ai fini degli esercizi, lo chiedo perchè ovviamente gli esercizi se li faccio nel modo in cui hanno spiegato la teoria mi vengon con i segni alternati.
Altra cosa che mi sembra strana, quando l'elemento d'area $ru X rs$ nella matrice sugli esercizi mettono sulla prima riga i versori spaziali ed ok, sulla seconda invece le derivate di $rs$ e questo va contro quello che ho studiato ed ovviamente non rispecchia la scrittura $ru X rs$...voi cosa dite?
Grazie

[dissonance]

Sono tutte convenzioni e purtroppo a volte la gente se le cambia a gusto suo. Quella che va per la maggiore credo sia la prima che hai detto, che consiste nel trattare il gradiente di una funzione $f\colon R^n\to R$ come un vettore *riga* e, quindi, la matrice Jacobiana di una funzione $F\colon R^n\to R^m$ come una matrice con $m$ righe, in cui ogni riga consiste del gradiente della corrispondente componente del vettore $F$. Se scegli di fare così, è naturale considerare i vettori di $R^n$ come vettori *colonna*.

Per quanto riguarda il prodotto vettore, quella è un'altra cosa ancora. Lì stai calcolando un determinante (formale), quindi è lo stesso se metti i versori sulla prima riga o sulla prima colonna. Il determinante di una matrice e quello della trasposta sono uguali.

[asker993]

capito dissonance, dunque alla fine cambiano i segni ma capire per esempio se la superficie della figura è regolare o no è uguale...in sostanza, cambiano i segni ma non il risultato che vogliamo ottenere.
Per l'elemento d'area hai ragione, si calcola il modulo che non cambia se i segni son positivi o negativi, mi son confuso con il versore normale e li cambiare ordine cambia verso...

grazie