Matrice hessiana/estremi liberi

[cocabuton]

Mi aiutate a risolverla?

f(x,y)= sen^2x+2senxcosy+cos^2y

[Zero87]

"cocabuton":Mi aiutate a risolverla?

f(x,y)= sen^2x+2senxcosy+cos^2y

Come domanda sei un po' troppo vago. Dal titolo posso supporre (scrivi "matrice hessiana") che devi studiarla questa funzione. O per lo meno, i suoi punti critici...

Se fosse così, intanto inizia, o almeno provaci ($^1$).
Dominio? Continuità? Derivate parziali?...

Inoltre, se metti quella funzione tra due simboli di dollaro, ottieni
$f(x,y)= sen^2x+2senxcosy+cos^2y$
è questa la tua funzione?

_______
($^1$). Regolamento a parte, è più corretto far arrivare alla soluzione piuttosto che darla anche per acquisire consapevolezza dei risultati ottenuti...

[cocabuton]

devo trovare gli estremi liberi di questa funzione..non devo studiarla.. l'esercizio l ho già svolto ma non so se è corretto per questo ho chiesto aiuto

[Noisemaker]

"cocabuton":Mi aiutate a risolverla?

f(x,y)= sen^2x+2senxcosy+cos^2y

Dopo aver osservato che la funzione è definita continua e differenziabile in tutto $\mathbb{R}^2,$ cominica col gradiente ...
\begin{align*}
\nabla f(x,y)=(f_x,f_y)=(\sin2x+2\cos x\cos y , -\sin2y-2\sin y\sin x)
\end{align*}

[Zero87]

"cocabuton":l'esercizio l ho già svolto ma non so se è corretto per questo ho chiesto aiuto

Allora posta il tuo procedimento e ti diremo se c'è qualcosa che non va e, in quel caso, ti aiuteremo.

PS: suppongo che con "hessiana/estremi liberi" tu intendi la classificazione dei punti stazionari (detti anche critici) di una funzione in 2 variabili. Sbaglio?

[cocabuton]

si intendevo i punti critici, io ho svolto l'esercizio in questo modo ma sono incerto delle soluzioni
f'(x) =2cosx(senx+cosy)
f'(y)= -2seny(senx+cosy)

f(xx)=2((cos^2x-sen^2x-(senxcosy))
f(yy)=-2(senxcosy+cos^2y-sen^2y)

f(xy)=f(yx)= -2senycosx

metto a sistema le derivate prime in x e y
2cosx(senx+cosy)=0
-2seny(senx+cosy)=0

e trovo il punto A di coordinate A=(pi/2+kpi; kpi)

sostituisco le coordinate del punto A nella matrice hessiana
H=|fxx fxy|
|fyx fyy|

e alla fine calcolo i determinanti e trovo che per k pari la mia fxx è un numero negativo quindi ho un punto di MASSIMO e per k dispari il mio determinante è uguale a zero

[Zero87]

La tua funzione di partenza è
$f(x,y)=sin^2x+2sinxcosy+cos^2y$.

Dici
"$f'(x)=2cosx(sinx+cosy)$" e
"$f'(y)=-2siny(sinx+cosy)$.

Tralasciando formule e notazione (è preferibile un $f_x$ invece del $f'(x)$... però sono dettagli estetici), le derivate parziali sembrano ok. Quando è che si annullano in contemporanea (quindi il gradiente è nullo)?

Mi fido del punto che hai trovato tu perché è mezz'ora che sbaglio i calcoli. Tu dici
$A=(\pi/2+k\pi ; k\pi)$,
cioè che il gradiente si annulla in quei punti.

Poi passiamo alle derivate seconde parziali
$f_(x x) =2(cos^2x-sin^2x-sinxcosy)$
$f_(yy) =-2(sinxcosy+cos^2y-sin^2y)$
$f_(xy)=f_(yx) =-2sinycosx$
Personalmente, mi sembrano giuste anche queste.

Facciamo l'Hessiano, sostituendo $x=\pi/2+ k \pi$ e $y=k\pi$ perché l'Hessiano ci interessa nei punti critici.

[size=85][Anche io non ho mai imparato come si scrivono le matrici con le formule, una volta c'era un pulsante nel quale, premendolo, comparivano tanti modelli preimpostati...][/size]

Per il motivo in parentesi quadra , calcolo direttamente il determinante.
$f_(x x) f_(yy) - f_(xy) f_(yx)= 2(cos^2x-sin^2x-sinxcosy)[-2(sinxcosy+cos^2y-sin^2y)]-(-2sinycosx)^2$
lasciamo perdere, per ora, le semplificazioni, sostituiamo i punti che ci interessano [ho dovuto spezzare le formule perché me ne fa vedere una metà (?!)]
$2(cos^2(\pi/2+k\pi)-sin^2(\pi/2+k\pi)-sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))\cdot$
$\cdot[-2((sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi)+cos^2(k \pi)-sin^2(k \pi))]-(-2sin(k \pi)cos(\pi/2+ k \pi))^2=$
$=2(0-1-sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))[-2((sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))+1-0)]$$-(-2\cdot 0)^2=$
$=-2(1+sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))[-2((sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))+1)]=$
$=4((sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))+1)^2=4((sin^2(\pi/2+ k \pi)cos^2(k \pi))+1+2sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))=$
$=4(1+1+2sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))=4(2+2sin(\pi/2+ k \pi)cos(k \pi))$.

Ora, però, l'Hessiano è sempre positivo [se non ho sbagliato a fare i conti] perché
-$k$ pari, abbiamo $4(2+2\cdot 1\cdot 1)>0$
-$k$ dispari, abbiamo $4(2+2\cdot (-1)\cdot(-1))>0$

Tanto già lo vedo che finisce che io volevo darti una mano ma la dai tu a me perché ho fatto un casino nei calcoli

EDIT. Wolframalpha mi dà infiniti punti di minimo e massimo, solo che a me riportano tutti di minimo. O ho sbagliato i calcoli (probabile!) oppure c'è qualche altro punto, oltre ad $A$, per il calcolo del quale mi sono fidato (come ho scritto).

[cocabuton]

Grazie per l'aiuto! anche io ho cercato di risolvere attraverso wolfram e le derivate effettivamente coincidono..ma non sono riuscita a capire se si ha solo quel punto A o ce ne sono degli altri. Riguardo la matrice hessiana, l ho impostata e ho sostituito direttamente le coordinate del punto per semplificare i calcoli e quindi calcolato il determinante.

N.B. ho anche messo a sistema le derivate prime con wolfram
http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... syseny%3D0
e penso che il punto A che ho semplificato io integri tutte le soluzioni che da wolfram

[Zero87]

"cocabuton":http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+2senxcosx%2B2cosycosx%3D0%2C+-2senxseny-2cosyseny%3D0
e penso che il punto A che ho semplificato io integri tutte le soluzioni che da wolfram

Se clicco in quella pagina wolfram mi dà errore! Mah...

Comunque non sapevo si potessero fare anche i sistemi con wolfram (grazie!)

[cocabuton]

basta che scrivi questo imput
solve 2senxcosx+2cosycosx=0, -2senxseny-2cosyseny=0

penso che si possano riassumere tutti i valori nel punto A o sbaglio?

[Zero87]

"cocabuton":basta che scrivi questo imput
solve 2senxcosx+2cosycosx=0, -2senxseny-2cosyseny=0

Ancora grazie per questa informazione.

Comunque, il wolfram, dà le seguenti soluzioni.

1.2. $y=2k\pi+-cos^-1(-sin(x))$, $k_1 \in \ZZ$
3.4. $x=1/2 \pi (4k_1 -1)$, $y=k_2 \pi$, $k_1, k_2 \in \ZZ$.
5.6. $x=1/2 \pi (4k_1 +1)$, $y=k_2 \pi$, $k_1, k_2 \in \ZZ$.

Cos'è che dà fastidio? Ovviamente quel $cos^-1(-sin(x))$. Però, se dopo più di 6 anni che ho finito il liceo ricordo ancora qualcosa degli archi associati (o identità goniometriche)
$cos^-1(-sin(x))=cos^-1(cos(\pi/2 +x))=cos^-1 (cos(\pi/2+ x))= \pi/2+x$.

Otteniamo
1.2. $y=2k\pi+-(\pi/2+x)=\pi/2 +k\pi +-x $
3.4.5.6. $x=1/2 \pi (2k_1 +1)$, $y = k_2 \pi$, $k_1, k_2 \in \ZZ$.

Quindi i punti critici sono 2 "rette" e 4 "punti" (che valgono infinite volte a causa della periodicità).

Gli ultimi 4 sono rappresentabili con $A=(1/2 \pi(2k +1), k\pi)=(k\pi+pi/2,k\pi)$ come hai detto anche tu.
Però resta tutta quella retta nella quale la funzione ha il gradiente nullo.

[Zero87]

"Zero87":$f_(x x) f_(yy) - f_(xy) f_(yx)= 2 (cos^2x-sin^2x-sinxcosy)[-2(sinxcosy+cos^2y-sin^2y)]-(-2sinycosx)^2$

Quello era il determinante dell'Hessiana che avevo scritto in un precedente post. Basta sostituire ad esso
$y=\pi/2 +k\pi +-x$.

Mi cimento con il primo caso, il secondo dovrebbe essere simile.

Primo: $y=\pi/2 +k\pi +x$
$f_(x x) f_(yy) - f_(xy) f_(yx)=2 (cos^2x-sin^2x-sinxcosy)[-2(sinxcosy+cos^2y-sin^2y)]-(-2sinycosx)^2$

C'è da sostituire la $y$. Con calma, sempre con le identità goniometriche (o archi associati).
$cosy=cos(\pi/2 +k\pi +x)=cos(\pi/2 +(k\pi +x))=-sin(k\pi +x)=$
$=-(sin(k\pi)cos(x)+cos(k\pi)sin(x))=-cos(k\pi)sin(x)$
$siny=sin(\pi/2 +k\pi +x)=sin(\pi/2 +(k\pi +x))=cos(k\pi + x)=$
$=cos(k\pi)cos(x)-sin(k\pi)sin(x)=cos(k\pi)cos(x)$.

Ora occorre sostituire, tenendo conto di quanto detto.
$f_(x x) f_(yy) - f_(xy) f_(yx)=2 (cos^2x-sin^2x-sinxcosy)[-2(sinxcosy+cos^2y-sin^2y)]-(-2sinycosx)^2=$
$=(2cos^2x-2sin^2x+2sin^2x cos(k\pi))[-2(-sin^2x cos(k\pi)+(-cos(k\pi)sin(x))^2-(cos(k\pi)cos(x))^2)]+$
$-(-2cos^2xcos(k\pi))^2=$
$=(2cos^2x+2cos^2x-2+2sin^2x cos(k\pi))[-2(-sin^2x cos(k\pi)+sin^2x-cos^2x)]-4cos^2x=$
$=(4cos^2x-2+2sin^2x cos(k\pi))[2sin^2x cos(k\pi)+2-4cos^2x]-4cos^2x=$
$=8sin^2x cos^2x cos(k\pi)+8 cos^2x-16cos^2x-4sin^2x cos(k\pi)-4+8cos^2x+4sin^4x+4sin^2x cos(k\pi)$
$-8sin^2x cos^2x cos(k\pi)-4cos^2x =$
Si semplificano un sacco di termini.
$=-4+4sin^4x -4cos^2x= 4sin^4x+4sin^2x-8=4(sin^4x+sin^2x-2)$

Adesso non ho tempo, mi fido di Wolfram che mi dice che è sempre negativo in questo caso.

[lordb]

OT:

"Zero87":[Anche io non ho mai imparato come si scrivono le matrici con le formule, una volta c'era un pulsante nel quale, premendolo, comparivano tanti modelli preimpostati...]

$((a,b),(c,d))$

$((a,b),(c,d))$

$((a^1_1,a^1_2,...,a^1_n),(a^2_1,a^2_2,...,a^2_n),(...,...,...,...),(a^m_1,a^m_2,...,a^m_n))$

$((a^1_1,a^1_2,...,a^1_n),(a^2_1,a^2_2,...,a^2_n),(...,...,...,...),(a^m_1,a^m_2,...,a^m_n))$

[Zero87]

Ho sbagliato a scrivere, intendevo dire "sistemi" non matrici...

... però grazie mille lo stesso perché neanche le matrici sapevo fare...

[lordb]

Ah comunque:

${(x=f_1(x)),(y=f_2(x)):}$

${(x=f_1(x)),(y=f_2(x)):}$

${(x_1=f_1(x)),(x_2=f_2(x)),(.......),(x_n=f_n(x)):}$

${(x_1=f_1(x)),(x_2=f_2(x)),(.......),(x_n=f_n(x)):}$

[Zero87]

Grazie mille.

Metterò questo thread tra i preferiti per utilizzarlo quando ne avrò bisogno (per matrici e sistemi!).

[lordb]

Di niente