Matrice hessiana per il calcolo di massimi, minimi, selle
ciao a tutti.... ho un problema con una funzione in due variabili....
f(x)=(x2)^3-(x2)^2*(x1)^2-2*(x1)*(x2)^2
ho calcolato il gradiente, l'ho posto uguale a zero e ho scoperto che i due punti stazionari della funzione sono:
A (h;0) e B (-1;-2/3)
costruendo la matrice hessiana del punto B ottengo
-8/9 -8/3
-8/3 -2
è una matrice definita negativa e quindi so che il punto è un massimo....
il problema è per la matrice hessiana del punto A:
0 0
0 -2h^2-4h
com'è questa matrice al variare di h??? definita positiva, negativa, semidefinita positiva, negativa, indefinita?? come faccio a capirlo??
io so che una matrice 2*2 è semidefinita positiva se l'elemento di posto 1;1 è >=0 e se il determinante della matrice è >=0
una matrice è semidefinita negativa se l'elemento di posto 1;1 è <=0 e se il determinante della matrice è >=0
quindi questa matrice mi sembra sia semidefinita positiva che semidefinita negativa. ho pensato che in questi casi si potesse dire che la matrice è indefinita ma non è così perchè a seconda dei valori di h ho sia massimi che minimi che selle.... dov'è che sbaglio???
Grazie mille in anticipo per la risposta!
f(x)=(x2)^3-(x2)^2*(x1)^2-2*(x1)*(x2)^2
ho calcolato il gradiente, l'ho posto uguale a zero e ho scoperto che i due punti stazionari della funzione sono:
A (h;0) e B (-1;-2/3)
costruendo la matrice hessiana del punto B ottengo
-8/9 -8/3
-8/3 -2
è una matrice definita negativa e quindi so che il punto è un massimo....
il problema è per la matrice hessiana del punto A:
0 0
0 -2h^2-4h
com'è questa matrice al variare di h??? definita positiva, negativa, semidefinita positiva, negativa, indefinita?? come faccio a capirlo??
io so che una matrice 2*2 è semidefinita positiva se l'elemento di posto 1;1 è >=0 e se il determinante della matrice è >=0
una matrice è semidefinita negativa se l'elemento di posto 1;1 è <=0 e se il determinante della matrice è >=0
quindi questa matrice mi sembra sia semidefinita positiva che semidefinita negativa. ho pensato che in questi casi si potesse dire che la matrice è indefinita ma non è così perchè a seconda dei valori di h ho sia massimi che minimi che selle.... dov'è che sbaglio???
Grazie mille in anticipo per la risposta!
Risposte
Scusa, se non ho capito male, la funzione è questa
$f(x,y)=x^3-x^2 y^2-2xy^2$
giusto? Per cui
$\nabla f=(3x^2-2xy^2-2y^2,-2x^2 y+4xy)$
e le soluzioni di $\nabla f=0$ sono $(0,0)$ e $(0,\pm\sqrt{2})$. Da dove viene fuori $h$?
In ogni caso quella matrice Hessiana è indefinita, per cui non puoi ragionare con le solite regolette e, per una funzione che presenta una tale situazione, dovresti andare ad analizzare il comportamento della funzione stessa in un intorno del punto stazionario trovato.
$f(x,y)=x^3-x^2 y^2-2xy^2$
giusto? Per cui
$\nabla f=(3x^2-2xy^2-2y^2,-2x^2 y+4xy)$
e le soluzioni di $\nabla f=0$ sono $(0,0)$ e $(0,\pm\sqrt{2})$. Da dove viene fuori $h$?
In ogni caso quella matrice Hessiana è indefinita, per cui non puoi ragionare con le solite regolette e, per una funzione che presenta una tale situazione, dovresti andare ad analizzare il comportamento della funzione stessa in un intorno del punto stazionario trovato.
grazie per la risposta ma temo di doverti contraddire... la funzione non è quella che hai scritto tu perche non inizia con x^3 ma con y^3...
h salta fuori perchè risolvendo il sistema che si ottiene ponendo il gradiente = 0, risulta che se x2 (y) è uguale a 0, allora x1 può valere qualsiasi numero reale
comunque grazie lo stesso... ho capito come risolvere il problema
h salta fuori perchè risolvendo il sistema che si ottiene ponendo il gradiente = 0, risulta che se x2 (y) è uguale a 0, allora x1 può valere qualsiasi numero reale
comunque grazie lo stesso... ho capito come risolvere il problema
Ah ecco, è che non si capiva. Se scrivessi usando il codice del Mathajax il problema non si sarebbe presentato. Allora le soluzioni corrette sono
$(h,0),\ (-1, 2)$
$(h,0),\ (-1, 2)$
ok... provvederò a capire come funziona questo codice allora...
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