Matrice Hessiana nulla!!
Salve ragazzi ho un problema con un esercizio la quale nel punto $(0,0)$ mi risulta la matrice hessiana nulla. Come devo comportarmi? cioè come faccio a classificare il punto e con quale metodo posso farlo?
EDIT: sul mio libro riporta un esempio di risoluzione ed in sostanza va a studiare la funzione lungo la retta $y=x$ e lungo $y=-x$ per cui dopo bisogna studiare la derivata di una funzione di una variabile reale ma non capisco perchè proprio queste due rette. La scelta è arbitraria oppure no?
EDIT: sul mio libro riporta un esempio di risoluzione ed in sostanza va a studiare la funzione lungo la retta $y=x$ e lungo $y=-x$ per cui dopo bisogna studiare la derivata di una funzione di una variabile reale ma non capisco perchè proprio queste due rette. La scelta è arbitraria oppure no?
Risposte
Il caso della matrice hessiana nulla è quello peggiore perché non ti dà alcuna informazione utile.
Comunque, ti conviene scrivere l'espressione della funzione.
Comunque, ti conviene scrivere l'espressione della funzione.
si antimius lo so infatti chiedevo se ci fosse un altro metodo per classificare tali punti critici. Il nostro prof ci ha detto d che in questo caso si dovrebbe studiare in modo diretto la funzione ma non capisco che cosa intendesse con questa espressione. Comunque sia ora posto la traccia dell'esercizio:
$f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2$
Nel punto $(0,0)$ presenta un punto critico con matrice Hessiana nulla sul mio libro sostituisce alla funzione di due variabili $y=x$ e $y=-x$ in modo da avere una fuzione di una variabile reale e studiarne il segno solo che il mio dubbio è: bisogna fare in questo modo sempre? Perchè proprio quelle due rette, non sarebbe meglio studiarla con l'equazione generica $y=mx$ in modo da non escludere nessuna retta del piano?
$f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2$
Nel punto $(0,0)$ presenta un punto critico con matrice Hessiana nulla sul mio libro sostituisce alla funzione di due variabili $y=x$ e $y=-x$ in modo da avere una fuzione di una variabile reale e studiarne il segno solo che il mio dubbio è: bisogna fare in questo modo sempre? Perchè proprio quelle due rette, non sarebbe meglio studiarla con l'equazione generica $y=mx$ in modo da non escludere nessuna retta del piano?
"paolotesla91":
si antimius lo so infatti chiedevo se ci fosse un altro metodo per classificare tali punti critici. Il nostro prof ci ha detto d che in questo caso si dovrebbe studiare in modo diretto la funzione ma non capisco che cosa intendesse con questa espressione. Comunque sia ora posto la traccia dell'esercizio:
$f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2$
Nel punto $(0,0)$ presenta un punto critico con matrice Hessiana nulla sul mio libro sostituisce alla funzione di due variabili $y=x$ e $y=-x$ in modo da avere una fuzione di una variabile reale e studiarne il segno solo che il mio dubbio è: bisogna fare in questo modo sempre? Perchè proprio quelle due rette, non sarebbe meglio studiarla con l'equazione generica $y=mx$ in modo da non escludere nessuna retta del piano?
Il fatto che l'origine non sia un'estremante per una restrizione della funzione, ad esempio lungo quelle due rette, è sufficiente per concludere che anche per la funzione di partenza l'origine non è un estremante, e la tua analisi si conclude.
Mentre il fatto che la restrizione lungo ogni retta abbia un estremante nell'origine è solo necessario, e quindi devi o trovare altre restrizioni per cui non hai un estremante (e quindi non hai un estremante per la tua funzione) oppure andare a studiare direttamente il segno dell'incremento.
Probabilmente...
Con studiare in modo diretto penso intendesse dire di dimostrare (ad esempio nel caso del punto di massimo) che esiste un intorno $I$ di $(x_0,y_0)$ t.c. $f(x,y)<=f(x_0,y_0) \forall (x,y) \in I$.
Devi dimostrare quella disuguaglianza che potrebbe non essere banale.
Nel caso in cui intuissi che il punto non è né di massimo né di minimo, puoi tentare di esibire una direzione lungo la quale non lo è, come ti ha già detto strangolatoremancino.
Devi dimostrare quella disuguaglianza che potrebbe non essere banale.
Nel caso in cui intuissi che il punto non è né di massimo né di minimo, puoi tentare di esibire una direzione lungo la quale non lo è, come ti ha già detto strangolatoremancino.
ok antimius mi pare di aver capito cioè in questo caso particolare io dovrei sostituire il punto nella funzione e studiarne il segno in pratica in modo da verificare se la disuguaglianza è vera?
Sì! Ovvio che basta che sia vera localmente (in un intorno del punto in questione). Non è necessario che valga su tutto il dominio della tua funzione (a meno che non stai cercando un massimo/minimo assoluto).
Però, se ti accorgi che il punto non è né di massimo né di minimo, basta esibire due restrizioni della funzione che ti escludano queste possibilità.
Ad esempio, vediamo cosa accade in questo caso: $f(0,0)=2$.
Allora, la disequazione da studiare è $f(x,y)>=2$, oppure equivalentemente, posto $g(x,y)=f(x,y)-2$, $g(x,y)>=0$. Bisogna verificare se questo avviene localmente.
Ma ci si accorge che $g(x,x)=2x^4-4x^2=2x^2(x^2-2)$.
Allora la disuguaglianza suddetta non può sussistere in un intorno $I$ dell'origine perché l'insieme ${(x,y) \in RR^2 | x=y, |x|
Infatti, $g(x,-x)=2x^4$,...
Però, se ti accorgi che il punto non è né di massimo né di minimo, basta esibire due restrizioni della funzione che ti escludano queste possibilità.
Ad esempio, vediamo cosa accade in questo caso: $f(0,0)=2$.
Allora, la disequazione da studiare è $f(x,y)>=2$, oppure equivalentemente, posto $g(x,y)=f(x,y)-2$, $g(x,y)>=0$. Bisogna verificare se questo avviene localmente.
Ma ci si accorge che $g(x,x)=2x^4-4x^2=2x^2(x^2-2)$.
Allora la disuguaglianza suddetta non può sussistere in un intorno $I$ dell'origine perché l'insieme ${(x,y) \in RR^2 | x=y, |x|
Infatti, $g(x,-x)=2x^4$,...
scusami antimius ma forse mi sono perso qualche passaggio! XD
io ho che: $g(x,y)=f(x,y)-2>=0$ e fin qui ci sono poi;
$g(x,x)=4x^4-4x^2=4x^2(x^2-1)$ ora basta studiare il segno o devo fare la derivata esattamente come facevo con le funzioni di una variabile reale?
io ho che: $g(x,y)=f(x,y)-2>=0$ e fin qui ci sono poi;
$g(x,x)=4x^4-4x^2=4x^2(x^2-1)$ ora basta studiare il segno o devo fare la derivata esattamente come facevo con le funzioni di una variabile reale?
In realtà, puoi gestire come vuoi quella funzione a una variabile per capire il suo andamento, in base a quel che ti serve. Ma in questo caso è sufficiente studiare il segno, per notare che in un intorno di $0$ la funzione $g(x,x)$ è negativa. Quindi, $g(x,y)$ in un intorno di $(0,0)$ assumerà valori negativi (almeno nei punti dell'insieme considerato su). Dunque la disuguaglianza considerata non è vera nemmeno localmente.
Analogamente, se consideri la disuguaglianza $g(x,y)<=0$ (per controllare se il punto è di minimo), ti rendi conto che questo non può essere vero in un intorno di $(0,0)$ perché la funzione $g(x,-x)$ è positiva in un intorno di $0$ (in realtà è positiva su tutta la retta reale, ma ti è sufficiente considerare la proprietà locale).
Analogamente, se consideri la disuguaglianza $g(x,y)<=0$ (per controllare se il punto è di minimo), ti rendi conto che questo non può essere vero in un intorno di $(0,0)$ perché la funzione $g(x,-x)$ è positiva in un intorno di $0$ (in realtà è positiva su tutta la retta reale, ma ti è sufficiente considerare la proprietà locale).
ok grazie mille ho capito adesso!! un ultima domanda: la restrizione applicata dal libro in questo caso può sembrare scelta appositamente ma comunque più generalmente, siccome a me interessa vedere come si comporta la funzione in un intorno del punto, questa restrizione la posso applicare per la maggior parte delle volte? Inoltre ho provato a verificare il risultato con $y=mx$ però mi escono dei calcolacci che non so risolvere quindi da ciò deduco che basta vedere come si comporta la funzione lungo le bisettrici e non lungo tutte le rette!! (correggetemi se sbaglio).
Purtroppo quello dipende dall'espressione della funzione che ti viene data. Devi andare un po' "a occhio". Non è neanche sicuro che tu debba considerare restrizioni lungo delle rette. Potrebbe essere utile invece considerare restrizione lungo altre curve: parabole, curve logaritmiche, esponenziali, ecc.
In questo caso era abbastanza evidente che si trattava di una restrizione lineare perché avevi un polinomio. Il fatto di considerare $g(x,-x)$ è comodo perché in quel modo la seconda parentesi si annulla.
In questo caso era abbastanza evidente che si trattava di una restrizione lineare perché avevi un polinomio. Il fatto di considerare $g(x,-x)$ è comodo perché in quel modo la seconda parentesi si annulla.
ok grazie mille, cercherò di fare più esercizi in modo da acquisire più dimistichezza grazie ancora 
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