Matrice esponenziale
ciao a tutti,
non mi è chiaro un solo passaggio del procedimento che si segue per trovare l'esponenziale di una matrice diagonalizzabile.
se devo calcolare $e^A$, e $A$ è una matrice diagonalizzabile, so che deve esistere una matrice $M$ invertibile tale che valga la relazione di similitudine $A = MBM^{-1}$. $B$ è la matrice diagonalizzata e quindi sulla diagonale abbiamo gli autovalori di $A$, so anche che $M$ è la matrice formata dagli autovettori di $A$, ma come è esattamente formata tale matrice dagli autovettori? gli autovettori sono messi in colonna? in riga? e in che ordine?
ho provato a calcolare: [tex]e^{\begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}}[/tex].
gli autovalori di [tex]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}[/tex] sono $1$ e $-1$. quindi [tex]B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}[/tex].
l'autovettore relativo a $1$ è $\phi_1 = (1,-1)$ (o coi segni scambiati, che tanto è uguale), l'autovettore di $-1$ è $\phi_2 = (1,1)$.
ora... come costruisco $M$, conoscendo gli autovettori?
mettendoli in colonna in quest'ordine: [tex]M = \left[ (\phi_1) (\phi_2)\right][/tex]? o in quest'altro [tex]M = \left[ (\phi_2) (\phi_1)\right][/tex]?
o mettendoli in riga?
poi vabbeh... $e^A = e^{MBM^{-1}} = Me^BM^{-1}$. ma non è questo il mio dubbio.
grazie in anticipo per le risposte
non mi è chiaro un solo passaggio del procedimento che si segue per trovare l'esponenziale di una matrice diagonalizzabile.
se devo calcolare $e^A$, e $A$ è una matrice diagonalizzabile, so che deve esistere una matrice $M$ invertibile tale che valga la relazione di similitudine $A = MBM^{-1}$. $B$ è la matrice diagonalizzata e quindi sulla diagonale abbiamo gli autovalori di $A$, so anche che $M$ è la matrice formata dagli autovettori di $A$, ma come è esattamente formata tale matrice dagli autovettori? gli autovettori sono messi in colonna? in riga? e in che ordine?
ho provato a calcolare: [tex]e^{\begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}}[/tex].
gli autovalori di [tex]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}[/tex] sono $1$ e $-1$. quindi [tex]B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}[/tex].
l'autovettore relativo a $1$ è $\phi_1 = (1,-1)$ (o coi segni scambiati, che tanto è uguale), l'autovettore di $-1$ è $\phi_2 = (1,1)$.
ora... come costruisco $M$, conoscendo gli autovettori?
mettendoli in colonna in quest'ordine: [tex]M = \left[ (\phi_1) (\phi_2)\right][/tex]? o in quest'altro [tex]M = \left[ (\phi_2) (\phi_1)\right][/tex]?
o mettendoli in riga?
poi vabbeh... $e^A = e^{MBM^{-1}} = Me^BM^{-1}$. ma non è questo il mio dubbio.
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Gli autovettori vanno in colonne. L'ordine dipende dall'ordine degli autovalori: se la tua matrice diagonale è
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]
allora devi considerare
\[[\Phi_1, \Phi_2 ]\]
ovvero \(\Phi_1\) sulla prima colonna e \(\Phi_2\) sulla seconda.
E' un fatto di algebra lineare, cerca informazioni sul tuo libro.
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]
allora devi considerare
\[[\Phi_1, \Phi_2 ]\]
ovvero \(\Phi_1\) sulla prima colonna e \(\Phi_2\) sulla seconda.
E' un fatto di algebra lineare, cerca informazioni sul tuo libro.
sul mio libro di analisi non se ne parla proprio.
forse sul libro di algebra appunto. ma le motivazioni a spanne le ricordo anche. e sembra che ricordassi bene anche come andava costruita la matrice $M$. è che ho voluto verificare che, nell'esercizio proposto, venisse proprio $MBM^-1 = A$ e trovo invece $-A$. ho provato due volte e trovo sempre $-A$.
sicuramente sbaglio qualcosa...
riprovo per la terza volta. se non riesco, scrivo qui per un aiuto
intanto grazie già per l'aiuto, dissonance
forse sul libro di algebra appunto. ma le motivazioni a spanne le ricordo anche. e sembra che ricordassi bene anche come andava costruita la matrice $M$. è che ho voluto verificare che, nell'esercizio proposto, venisse proprio $MBM^-1 = A$ e trovo invece $-A$. ho provato due volte e trovo sempre $-A$.
sicuramente sbaglio qualcosa...
riprovo per la terza volta. se non riesco, scrivo qui per un aiuto
intanto grazie già per l'aiuto, dissonance
uhm...
ho trovato il punto: la relazione di similitudine è $A = M^{-1}BM$ e non $A = MBM^{-1}$...
ecco la ragione di tutti i mali o.O
bon. risolto
ho trovato il punto: la relazione di similitudine è $A = M^{-1}BM$ e non $A = MBM^{-1}$...
ecco la ragione di tutti i mali o.O
bon. risolto
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