Matrice esponenziale

[manu911]

buongiorno a tutti
mi potete spiegare come si svolge questo esercizio:

Data la matrice $A=|(-1,0),(1,2)|$ calcolare $e^(tA)$
la risposta è $|(e^(-t),0),(te^(2t),e^(2t))|$

io lo svolgo in questo modo: $|(-1,0),(1,2)| rArr |(-1-lambda,0),(1,2-lambda)|$
$P(lambda)=det(lambda I-A) rArr (-1-lambda)(2-lambda) rArr lambda^2-lambda -2$
l'equazione $P_A(D)y=y''-y'-2y$
ha le seguenti soluzioni $y_1(t)=e^(-t)$ e $y_2(t)=e^(2t)$ #
ho poi che la matrice esponenziale ha la forma $e^(tA)=e^(-t)E_1+e^(2t)E_2$
$\{(E_1+E_2=0),(-E_1+2E_2=A):}$

immagino poi di dover risolvere il sistema in funzione di $E_1$ e $E_2$ ma poi come proseguo?
ho preso dagli appunti del prof e gia' dal punto # mi sono perso nei passaggi
mi potete dare una mano?

[gugo82]

Forse la prima condizione è \(E_1+E_2=I\), se capisco dove stai andando a parare...

Ad ogni modo, io farei in un altro modo.
Innanzitutto, tieni presente che se \(\Lambda\) è una matrice diagonale con pivot \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots ,\lambda_N\), allora \(\exp (t\Lambda)\) è la matrice diagonale che ha sulla diagonale i pivot \(e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t},\ldots , e^{\lambda_N t}\): infatti, usando la serie esponenziale e la struttura diagonale della matrice hai:
\[
\begin{split}
\exp (t\Lambda) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ (t\Lambda)^n \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ t^n \Lambda^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ t^n\ \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 &\cdots & 0\\
0& \lambda_2^n & \cdots &0\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots &\lambda_N^n
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 &\cdots & 0\\
0& e^{\lambda_2 t} & \cdots &0\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_N t}
\end{pmatrix}\; .
\end{split}
\]
Ricordato ciò, se \(A\) è diagonalizzabile, si ha:
\[
A=P\Lambda P^{-1}
\]
in cui \(P\) è un'opportuna matrice di passaggio; conseguentemente le potenze di \(A\) si calcolano in modo facile:
\[
A^n = P \Lambda^n P^{-1}
\]
(come si dimostra facilmente per induzione) e dunque:
\[
\begin{split}
\exp (tA) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ (tA)^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ t^nA^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ t^n\ P\Lambda^nP^{-1}\\
&= \sum_{n=0}^\infty P\left(\frac{1}{n!}\ t^n\Lambda^n\right) P^{-1}\\
&= P\exp (t\Lambda) P^{-1}\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, ti basta diagonalizzare \(A\) per ottenere \(\exp (tA)\). Dato che gli autovettor sono \(\lambda_1=-1\) e \(\lambda_2=2\) e che la matrice di passaggio è:
\[
P=\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad P^{-1}=\begin{pmatrix} -1/3 & 0 \\ 1/3 & 1\end{pmatrix}
\]
hai:
\[
\exp (tA) = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{2t}\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} -1/3 & 0 \\ 1/3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-t} & 0 \\ -1/3 e^{-t} + 1/3 e^{2t} & e^{2t}\end{pmatrix}\; .
\]

[manu911]

ciao gugo82 grazie per la risposta...
il fatto è che poi non so come ricollegarmi al risultato dato nelle soluzione