Matrice di rotazione
Salve a tutti, svolgendo un esercizio del corso di analisi II mi sono imbattuto in una richiesta che non saprei come prendere.
Dunque, mi è dato il campo $F = (4y^2 ( e^x - e^-x) - 3y, 8y (e^x+e^-x))$, e mi si chiede: sia $Ain R^(2xx 2)$ la matrice che rappresenta la rotazione di $pi/2$ in senso orario. Calcolare la divergenza di $AF $.
Che cos'è la matrice di rotazione? come si ricava?Grazie in anticipo e perdonate l'ignoranza, so che probabilmente sarà una stupidaggine ma proprio non mi torna
Dunque, mi è dato il campo $F = (4y^2 ( e^x - e^-x) - 3y, 8y (e^x+e^-x))$, e mi si chiede: sia $Ain R^(2xx 2)$ la matrice che rappresenta la rotazione di $pi/2$ in senso orario. Calcolare la divergenza di $AF $.
Che cos'è la matrice di rotazione? come si ricava?Grazie in anticipo e perdonate l'ignoranza, so che probabilmente sarà una stupidaggine ma proprio non mi torna
Risposte
Ciao.
Suppongo che con $Ain R^(2xx 2)$ si voglia indicare che $A$ sia una matrice quadrata di ordine 2 a coefficienti reali.
Sia $A(theta)=((costheta,-sintheta),(sintheta,costheta))$
Questa matrice, applicata ad un vettore di $RR^2$, trasforma il vettore stesso in un altro vettore che è il risultato di una rotazione del vettore dato di un angolo pari $theta$ in senso antiorario (intorno all'origine); per convincersi di ciò è sufficiente vedere l'effetto di tale matrice sui due vettori della base canonica di $RR^2$.
Nel tuo caso, volendo ottenere una rotazione in senso orario pari a $pi/2$, basta porre $theta=-pi/2$ in $A(theta)$, per cui si avrà:
$A=A(-pi/2)=((0,1),(-1,0))$
Facendo le verifiche sui due vettori della base canonica di $RR^2$, si ottiene:
$((0,1),(-1,0))*((1),(0))=((0),(-1))$
$((0,1),(-1,0))*((0),(1))=((1),(0))$
Cioè: i due vettori della base canonica di $RR^2$ sono stati ruotati in senso orario di un angolo pari a $pi/2$.
Saluti.
Suppongo che con $Ain R^(2xx 2)$ si voglia indicare che $A$ sia una matrice quadrata di ordine 2 a coefficienti reali.
Sia $A(theta)=((costheta,-sintheta),(sintheta,costheta))$
Questa matrice, applicata ad un vettore di $RR^2$, trasforma il vettore stesso in un altro vettore che è il risultato di una rotazione del vettore dato di un angolo pari $theta$ in senso antiorario (intorno all'origine); per convincersi di ciò è sufficiente vedere l'effetto di tale matrice sui due vettori della base canonica di $RR^2$.
Nel tuo caso, volendo ottenere una rotazione in senso orario pari a $pi/2$, basta porre $theta=-pi/2$ in $A(theta)$, per cui si avrà:
$A=A(-pi/2)=((0,1),(-1,0))$
Facendo le verifiche sui due vettori della base canonica di $RR^2$, si ottiene:
$((0,1),(-1,0))*((1),(0))=((0),(-1))$
$((0,1),(-1,0))*((0),(1))=((1),(0))$
Cioè: i due vettori della base canonica di $RR^2$ sono stati ruotati in senso orario di un angolo pari a $pi/2$.
Saluti.
Mmh effettivamente dal tuo esempio tutto torna, applicandolo al mio caso sembra venga sbagliato.. Dunque devo eseguire il prodotto $A\cdot F$: $( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) \cdot ( ( F_{1} ),( F_{2} ) ) $ = $( ( (0\cdot F_{1})+ (1\cdot F_{2} ) ),( (-1\cdot F_{1})+ (0\cdot F_{2} ) ) ) = ( ( F_{2} ),( -F_{1} ) ) $
..mentre secondo la soluzione del mio professore: $A\cdot F = ( ( -F_{2} ),( F_{1} ) )$
..mentre secondo la soluzione del mio professore: $A\cdot F = ( ( -F_{2} ),( F_{1} ) )$
Non saprei che dire.
Potrei anche aver commesso io qualche errore, anche se non vedrei proprio dove.
La soluzione del tuo professore porterebbe a supporre di aver avuto a che fare con una matrice di rotazione con angolo di rotazione pari a $+pi/2$ (senso antiorario).
Forse c'è stata qualche incomprensione nel testo..?
Saluti.
Potrei anche aver commesso io qualche errore, anche se non vedrei proprio dove.
La soluzione del tuo professore porterebbe a supporre di aver avuto a che fare con una matrice di rotazione con angolo di rotazione pari a $+pi/2$ (senso antiorario).
Forse c'è stata qualche incomprensione nel testo..?
Saluti.
Si tratta di una rotazione passiva. A ruotare in senso orario non è il vettore, bensì il sistema di coordinate.
"gordnbrn":
Si tratta di una rotazione passiva. A ruotare in senso orario non è il vettore, bensì il sistema di coordinate.
Potrebbe essere proprio così, anche se ciò non era aprioristicamente deducibile da quanto riportato dall'autore del topic, o, almeno, io non avrei mai dedotto una cosa del genere.
Saluti.
Ok. In fisica si ha spesso a che fare con trasformazioni attive. In matematica, se non esplicitamente dichiarato il contrario, andrebbero intese come passive.
Bene.
Non si finisce mai di imparare.
Saluti.
Non si finisce mai di imparare.
Saluti.
Purtroppo non so dirvi che tipo di rotazione sia, ho semplicemente riportato il testo così com'è nel tema d'esame (omettendo solo la prima parte in cui mi si chiedeva il lavoro del campo lungo una curva, quindi nulla a che fare con la rotazione).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo