[Matematica 3] limite con 2 variabili

[zannas]

Ciao a tutti, volevo sapere se quanto ho fatto è corretto:
Esercizio: calcolare se esiste il valore del seguente limite:
$lim_{(x,y)->(1,0)} ((x-1)^2+y^2)/(1-x^2-y^2)$

posto $(x,y) = (1+alpha t,beta t) AA alpha, beta in RR$ tc $alpha^2+beta^2=1$

$lim_{(1+alpha t,beta t)->(1,0)} ((alpha t)^2 + (beta t)^2)/(1-(1+alpha t)^2 - (beta t)^2) = (alpha^2 t^2 + beta^2 t^2)/(1-(1+alpha t)^2-(beta t)^2) = -1/(1+2 alpha/t) = 0$

se invece $(x,y) = (1+x,x^2)$

$lim_{(1+x,x^2)->(1,0)} (x^2+x^4)/(1- (1+x)^2 - x^4) = ... = 0$

[zannas]

cioè da questa immagine sembrerebbe che lì non è continua..

[zannas]

nessuno?

[amel3]

Più semplicemente osserverei che:
- per $x=1$ ottengo: $(y^2)/(-y^2)=-1$
- per $y=0$ ottengo: $((1-x)^2)/(1-x^2)=((1-x)(1-x))/((1-x)(1+x))=(1-x)/(1+x)->0$ per $x->1$
Ecco che ho ottenuto due restrizioni che tendono a limiti diversi.
Sì il limite non esiste.

Sempre che non sia lesso dall'ora...

[zannas]

l'unico modo per farlo venire è:
preso $x=1$
$lim {(y->0} y^2/-y^2 = -1$
preso $y=0$
$lim {(x->1} (x-1)^2/(1-x^2) = 0$

quello che non capisco è perchè ad esempio $lim_{(1+alpha t,beta t)->(1,0)} ((alpha t)^2 + (beta t)^2)/(1-(1+alpha t)^2 - (beta t)^2) = 0$ (che mi rappresenta il limite tagliando la funzione con tutte le rette) mi dà 0, poi invece se taglio la funzione con $x=1$ questa mi torna -1?

E' giusto in quanto il limite in quel punto per quella funzione non esiste, ma vorrei capire perchè se entro ad esempio con una parabola potrei ottenere un risultato diverso se entro con una retta...

Grazie

[kqpsi]

$lim_{(x,y)->(1,0)}((x-1)^2+y^2)/(1-x^2-y^2)$

Per rendere risolvibile il problema (che si può risolvere cmq. in tanti modi diversi) si applichi una traslazione degli assi, così che il limite tenda a (0,0) :

$\{(x_1=x-1),(y_1=y):}$

Nel nuovo sistema di riferimento la funzione e il suo limite si scriveranno:

$lim_{(x_1,y_1)->(0,0)} (x_1^2+y_1^2)/(1-(x_1+1)^2-y_1^2)$

Da qui si passi a coordinate polari:

$\{(x_1=\rho cos\theta),(y_1=\rho sin\theta):}$ con $\{(\rho in RR^+),(0<=\theta < 2\pi sub RR):}$

ottengo:

$lim_{\rho->0} (-\rho^2)/(\rho^2+2\rho cos\theta) = lim_{\rho->0} (-\rho)/(\rho+2cos\theta)$

Il limite NON ESISTE perché:

$\{(0<=\theta<\pi/2 \Rightarrow lim \rightarrow 0),(\theta=\pi/2 \Rightarrow lim \rightarrow -1),(\pi/2<\theta<{3\pi}/2 \Rightarrow lim \rightarrow 0),(\theta={3\pi}/2 \Rightarrow lim \rightarrow -1),({3\pi}/2<\theta<2\pi \Rightarrow lim \rightarrow 0):}$

Come vedi, con le coordinate polari convergi al polo senza dover sostituire funzioni a piacere (rette, parabole, ecc...).
Bisogna fare attenzione però all’eventuale variazione di theta, poiché può influenzare il risultato (come è nel tuo caso…)