Massimo/minimo vincolato
L'esercizio è apparentemente semplice, ma non so se c'è qualcosa che non funziona nel mio ragionamento.
La funzione è [tex]$f(x,y)=xy+y^2$[/tex], di cui vanno calcolati massimo e minimo vincolati all'insieme [tex]$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 +xy=1 \}$[/tex].
Facendo un semplice passaggio algebrico, mi rendo conto che [tex]$xy+y^2=1-x^2$[/tex], perciò [tex]$f(x,y)|_D=1-x^2$[/tex], che è una parabola. Per calcolare il massimo basta prendere l'ordinata del vertice. Il minimo mi verrebbe da dire che non esiste perché la parabola è illimitata inferiormente. Eppure, le soluzioni mi danno l'esistenza del minimo.
La funzione è [tex]$f(x,y)=xy+y^2$[/tex], di cui vanno calcolati massimo e minimo vincolati all'insieme [tex]$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 +xy=1 \}$[/tex].
Facendo un semplice passaggio algebrico, mi rendo conto che [tex]$xy+y^2=1-x^2$[/tex], perciò [tex]$f(x,y)|_D=1-x^2$[/tex], che è una parabola. Per calcolare il massimo basta prendere l'ordinata del vertice. Il minimo mi verrebbe da dire che non esiste perché la parabola è illimitata inferiormente. Eppure, le soluzioni mi danno l'esistenza del minimo.
Risposte
Interessante. Di fatto hai ristretto la funzione sul vincolo usando la $x$ come variabile. Ora però dovresti capire l'intervallo di variazione della $x$ sul vincolo.
Ti ringrazio! Hai ragione, non ci avevo pensato. In ogni caso, quella conica è un'ellisse ruotata di $pi/4$. Ho trovato l'equazione parametrica per determinare l'intervallo in cui varia la $x$, cioè $[-2/(sqrt(3)),2/(sqrt(3))]$. E infatti il minimo è proprio $-1/3$, cioè il valore che la parabola $1-x^2$ assume agli estremi dell'intervallo 
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