Massimo /- successione di funzioni
Ragazzi ho un dubbio: considerate questa successione:
\(\displaystyle \begin{equation*}
f_n(x)=n^2(e^{x^2/n^2}-1-x^2/n^2)
\end{equation*} \)
Poiché le funzioni sono crescenti per \(\displaystyle x \geq 0 \) e descrescenti per \(\displaystyle x<0 \) si può dire che per ogni intervallo \(\displaystyle [a,b] \)
\(\displaystyle
\begin{equation*}
\max(f_n(a),f_n(b))=f_n(c)
\end{equation*}
\)
ove \(\displaystyle c=\max(|a|,|b|) \). Vi chiedo se questo vale solo se le funzioni \(\displaystyle f_n \) sono pari?
\(\displaystyle \begin{equation*}
f_n(x)=n^2(e^{x^2/n^2}-1-x^2/n^2)
\end{equation*} \)
Poiché le funzioni sono crescenti per \(\displaystyle x \geq 0 \) e descrescenti per \(\displaystyle x<0 \) si può dire che per ogni intervallo \(\displaystyle [a,b] \)
\(\displaystyle
\begin{equation*}
\max(f_n(a),f_n(b))=f_n(c)
\end{equation*}
\)
ove \(\displaystyle c=\max(|a|,|b|) \). Vi chiedo se questo vale solo se le funzioni \(\displaystyle f_n \) sono pari?
Risposte
Vale se sono pari e non negative (altrimenti si costruiscono facilmente dei controesempi).
Ringrazio.. Come sospettavo!
Considera allora questa successione
\(\displaystyle f_n(x)=n(e^{x^3/n}-1-x^3/n) \)
Segui il mio ragionamento. Qui posso dire che se \(\displaystyle a,b >0 \) e considero come intervallo \(\displaystyle [a,b] \) allora \(\displaystyle \max(f_n(a),f_n(b))=f_n(b) \). Se \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) sono negativi e considero come intervallo sempre \(\displaystyle [a,b] \), invece, il massimo è uguale a \(\displaystyle f_n(a) \).
Se \(\displaystyle a<0 \) e \(\displaystyle b>0 \) e \(\displaystyle |b|\geq |a| \) il massimo è \(\displaystyle f_n(b) \). Questo lo si nota guardando il grafico (il tasso di crescita è maggiore del tasso di decrescita). Ma se \(\displaystyle |a|>|b|? \) Per quali \(\displaystyle x \) posso dire che il massimo è ancora \(\displaystyle f_n(b) \)?
Considera allora questa successione
\(\displaystyle f_n(x)=n(e^{x^3/n}-1-x^3/n) \)
Segui il mio ragionamento. Qui posso dire che se \(\displaystyle a,b >0 \) e considero come intervallo \(\displaystyle [a,b] \) allora \(\displaystyle \max(f_n(a),f_n(b))=f_n(b) \). Se \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) sono negativi e considero come intervallo sempre \(\displaystyle [a,b] \), invece, il massimo è uguale a \(\displaystyle f_n(a) \).
Se \(\displaystyle a<0 \) e \(\displaystyle b>0 \) e \(\displaystyle |b|\geq |a| \) il massimo è \(\displaystyle f_n(b) \). Questo lo si nota guardando il grafico (il tasso di crescita è maggiore del tasso di decrescita). Ma se \(\displaystyle |a|>|b|? \) Per quali \(\displaystyle x \) posso dire che il massimo è ancora \(\displaystyle f_n(b) \)?
Per quelli che soddisfano la disuguaglianza richiesta...
E come faccio? Ho provato ad impostare la disugaglianza, ma non riesco!
Non puoi trovare una soluzione "esplicita", dal momento che si tratta di risolvere un'equazione trascendente.
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