Massimo su un insieme
Fissato $alpha>0$ voglio stabilire se la funzione $f(x,y)=2xy$ ammette massimo sull'insieme $A={(x,y)\inRR^2:|x|<=1/(alpha^2+y^2)}$.
L'unico punto critico di $f$ è l'origine che è però un punto di sella, dunque lo studio dei massimi passando per gradiente e matrice hessiana non mi aiuta.
Ho allora pensato che se $A$ fosse compatto potrei concludere che il massimo esiste per il teorema di Weierstrass...ma A è veramente compatto?
L'unico punto critico di $f$ è l'origine che è però un punto di sella, dunque lo studio dei massimi passando per gradiente e matrice hessiana non mi aiuta.
Ho allora pensato che se $A$ fosse compatto potrei concludere che il massimo esiste per il teorema di Weierstrass...ma A è veramente compatto?
Risposte
Teorema di Heine-Borel: \(A \subset \mathbb R^n\) è compatto se e solo se è ****** e ********.
Chiuso e limitato.
Però in questo caso è difficile verificare operativamente che siano vere queste due condizioni (chiusura e limitatezza), no?
Però in questo caso è difficile verificare operativamente che siano vere queste due condizioni (chiusura e limitatezza), no?
Non saprei, prova a fare un disegno di \(A\).
Ad esempio, per $alpha=1$, il disegno è questo.
Tuttavia ho pensato che tutto l'asse y appartiene ad A dunque l'insieme non può essere limitato e di conseguenza compatto.
Deve dunque esserci un'altra strada per provare che A ha massimo...
Tuttavia ho pensato che tutto l'asse y appartiene ad A dunque l'insieme non può essere limitato e di conseguenza compatto.
Deve dunque esserci un'altra strada per provare che A ha massimo...
Chiaramente \(A\) non è compatto per nessun \(\alpha\), perché esso, pur essendo chiuso, non è limitato (infatti, come notato, \(A\) contiene sempre l'asse delle ordinate).
Ora, per quanto visto sopra, è evidente che non ci sono estremi della funzione interni ad \(A\) (altrimenti li avresti trovati imponendo \(\nabla f(x,y)=0\) e studiando l'hessiano); quindi, l'unica cosa da fare è cercare sulla frontiera.
La frontiera di \(A\) è formata, se \(\alpha \neq 0\), dalle due curve di equazione \(x=\pm \frac{1}{\alpha^2 + y^2}\); mentre, se \(\alpha =0\), dai quattro rami delle curve di equazioni \(x=\pm \frac{1}{y^2}\).
Sapendo ciò, non è affatto difficile studiare il comportamento della funzione su \(\partial A\). Prova...
P.S.: Ti prego di rispondere alla richiesta fatta qui. E sii convincente.
Ora, per quanto visto sopra, è evidente che non ci sono estremi della funzione interni ad \(A\) (altrimenti li avresti trovati imponendo \(\nabla f(x,y)=0\) e studiando l'hessiano); quindi, l'unica cosa da fare è cercare sulla frontiera.
La frontiera di \(A\) è formata, se \(\alpha \neq 0\), dalle due curve di equazione \(x=\pm \frac{1}{\alpha^2 + y^2}\); mentre, se \(\alpha =0\), dai quattro rami delle curve di equazioni \(x=\pm \frac{1}{y^2}\).
Sapendo ciò, non è affatto difficile studiare il comportamento della funzione su \(\partial A\). Prova...
P.S.: Ti prego di rispondere alla richiesta fatta qui. E sii convincente.
Grazie! 
Riporto per completezza quanto ho ottenuto (ad esclusione dei conti).
Studiando la restrizione di f alla curva $x=1/(alpha^2+y^2)$ si ottiene (tramite lo studio di derivata prima e seconda) un massimo relativo in $(1/(2alpha)^2,alpha)$, mentre studiando la restrizione di f alla curva $x=-1/(alpha^2+y^2)$ si ottiene un massimo relativo in $(-1/(2alpha)^2,-alpha)$.
La funzione calcolata in entrambi i massimi relativi vale $1/(2alpha)$, che è il valore massimo della funzione su A.
Riporto per completezza quanto ho ottenuto (ad esclusione dei conti).
Studiando la restrizione di f alla curva $x=1/(alpha^2+y^2)$ si ottiene (tramite lo studio di derivata prima e seconda) un massimo relativo in $(1/(2alpha)^2,alpha)$, mentre studiando la restrizione di f alla curva $x=-1/(alpha^2+y^2)$ si ottiene un massimo relativo in $(-1/(2alpha)^2,-alpha)$.
La funzione calcolata in entrambi i massimi relativi vale $1/(2alpha)$, che è il valore massimo della funzione su A.
Aggiungo che, data la disparità di \(f\), molto probabilmente i minimi si trovano sulle curve \(x=\pm \frac{1}{\alpha^2 + y^2}\) nei punti di ordinate \(\mp \alpha\)
Esattamente, mentre i massimi (che stavamo cercando) si trovano sulle curve $x=+-1/(alpha^2+y^2)$ nei punti di ordinate $+-alpha$
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