Massimo minimo vincolato [Analisi II]
Data: $f(x,y)=xy$ vincolata da $x^2+y^2+xy-1=0$ trovare i massimi e minimi assoluti.
Applico il metodo dei moltiplicatori di lagrange ed arrivo, come anche la soluzione della dispensa,a questo punto:
$\{(y(1-\alpha)=2\alphax ),(x(1-\alpha)=2\alphay),(x^2+y^2+xy-1=0):}$
Solitamente cerco di esprimere x ed y in funzione di $\alpha$ per poterli sostituire nella equazione del vincolo in modo da trovare i valori di $\alpha$ e arrivare così alla scoperta dei massimi minimi richiesti.
Il punto è che con le prime 2 equazioni non riesco ad ottenere dei valori di x ed y che siano diversi da 0, forse sbaglio il metodo non lo so...
Comunque la dispensa "trova" 4 punti,2 di minimo e 2 di massimo assoluto. Qualcuno riesce ad aiutarmi per come andare avanti a quel punto del sistema ? Grazie!!
Applico il metodo dei moltiplicatori di lagrange ed arrivo, come anche la soluzione della dispensa,a questo punto:
$\{(y(1-\alpha)=2\alphax ),(x(1-\alpha)=2\alphay),(x^2+y^2+xy-1=0):}$
Solitamente cerco di esprimere x ed y in funzione di $\alpha$ per poterli sostituire nella equazione del vincolo in modo da trovare i valori di $\alpha$ e arrivare così alla scoperta dei massimi minimi richiesti.
Il punto è che con le prime 2 equazioni non riesco ad ottenere dei valori di x ed y che siano diversi da 0, forse sbaglio il metodo non lo so...
Comunque la dispensa "trova" 4 punti,2 di minimo e 2 di massimo assoluto. Qualcuno riesce ad aiutarmi per come andare avanti a quel punto del sistema ? Grazie!!
Risposte
Le prime due equazioni sono soddisfatte anche per $x^2=y^2$.
"Rigel":
Le prime due equazioni sono soddisfatte anche per $x^2=y^2$.
Come hai fatto a capirlo scusa?
Osserva che per $\alpha=0$ l'unica soluzione per le prime due equazioni è $x=y=0$ (che però non soddisfa la terza).
Per $\alpha\ne 0$ moltiplica la prima equazione per $x$ e la seconda per $y$, e sottraile.
Per $\alpha\ne 0$ moltiplica la prima equazione per $x$ e la seconda per $y$, e sottraile.
Giusto, ma adesso come faccio a trovare i punti di massimo minimo?
Perchè fino ad adesso ho sempre ricavato x ed y in funzione $\alpha$ , poi li andavo a sostituire alla terza equazione e ricavavo $\alpha$ poi lo sostituivo e il gioco era fatto.
Adesso come procedo?Grazie
Perchè fino ad adesso ho sempre ricavato x ed y in funzione $\alpha$ , poi li andavo a sostituire alla terza equazione e ricavavo $\alpha$ poi lo sostituivo e il gioco era fatto.
Adesso come procedo?Grazie
Sostituisci nella terza equazione prima $y=x$, poi $y=-x$, e vedi che succede.
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