Massimo minimo vincolato [Analisi II]
Data $f: (x,y) =sqrt(x^2+y^2)+y^2-1$ vincolata da $x^2+y^2=9$ ricercare i massimi e minimi assoluti.
Solitamente prima impongo le derivate prime della funzione uguali a 0 per ricercare i punti critici che se poi soddisfano il vincolo allora diventeranno massimi e minimi, poi utilizzo il metodo dei moltiplicatori di lagrange.
Però questo esercizio è risolto a questa pagina (esercizio b) http://calvino.polito.it/~lancelotti/di ... lisi2.html ma non fa nulla di tuttò ciò che ho detto. Come procede? E' sbagliato il mio metodo? Grazie!
Solitamente prima impongo le derivate prime della funzione uguali a 0 per ricercare i punti critici che se poi soddisfano il vincolo allora diventeranno massimi e minimi, poi utilizzo il metodo dei moltiplicatori di lagrange.
Però questo esercizio è risolto a questa pagina (esercizio b) http://calvino.polito.it/~lancelotti/di ... lisi2.html ma non fa nulla di tuttò ciò che ho detto. Come procede? E' sbagliato il mio metodo? Grazie!
Risposte
Ma scusa, usa direttamente il vincolo! 
Chiaramente uno parte con l'idea di applicare il metodo standard dei moltiplicatori di Lagrange; ma se poi guarda bene l'esercizio riesce anche a capire che può farne comodamente a meno.
Cioè, se [tex]$x^2+y^2=9$[/tex] allora puoi sostituire [tex]$9$[/tex] al posto di [tex]$x^2+y^2$[/tex] nell'espressione di [tex]$f$[/tex]: in tal modo tutto si riduce ad un problema di estremo libero per una funzione della sola variabile [tex]$y$[/tex], cioè [tex]$\varphi (y):=y^2+2$[/tex], con la variabile da prendersi in [tex]$[-3,3]$[/tex] (intervallo che è la proiezione del vincolo sull'asse [tex]$y$[/tex]).
Non so se questo è il metodo adottato nelle dispense, ma di certo è il metodo più veloce.
P.S.: Giuro che non ho sfogliato le dispense prima di scrivere... Le ho guardate solo dopo aver postato il messaggio e mi sono accorto non solo di aver avuto la stessa intuizione per la risoluzione, ma anche di aver utilizzato la stessa notazione per la funzione della sola [tex]$y$[/tex].
Paura!!!
Chiaramente uno parte con l'idea di applicare il metodo standard dei moltiplicatori di Lagrange; ma se poi guarda bene l'esercizio riesce anche a capire che può farne comodamente a meno.
Cioè, se [tex]$x^2+y^2=9$[/tex] allora puoi sostituire [tex]$9$[/tex] al posto di [tex]$x^2+y^2$[/tex] nell'espressione di [tex]$f$[/tex]: in tal modo tutto si riduce ad un problema di estremo libero per una funzione della sola variabile [tex]$y$[/tex], cioè [tex]$\varphi (y):=y^2+2$[/tex], con la variabile da prendersi in [tex]$[-3,3]$[/tex] (intervallo che è la proiezione del vincolo sull'asse [tex]$y$[/tex]).
Non so se questo è il metodo adottato nelle dispense, ma di certo è il metodo più veloce.
P.S.: Giuro che non ho sfogliato le dispense prima di scrivere... Le ho guardate solo dopo aver postato il messaggio e mi sono accorto non solo di aver avuto la stessa intuizione per la risoluzione, ma anche di aver utilizzato la stessa notazione per la funzione della sola [tex]$y$[/tex].
Paura!!!
"gugo82":
Ma scusa, usa direttamente il vincolo!
Chiaramente uno parte con l'idea di applicare il metodo standard dei moltiplicatori di Lagrange; ma se poi guarda bene l'esercizio riesce anche a capire che può farne comodamente a meno.
Cioè, se [tex]$x^2+y^2=9$[/tex] allora puoi sostituire [tex]$9$[/tex] al posto di [tex]$x^2+y^2$[/tex] nell'espressione di [tex]$f$[/tex]: in tal modo tutto si riduce ad un problema di estremo libero per una funzione della sola variabile [tex]$y$[/tex], cioè [tex]$\varphi (y):=y^2+2$[/tex], con la variabile da prendersi in [tex]$[-3,3]$[/tex] (intervallo che è la proiezione del vincolo sull'asse [tex]$y$[/tex]).
Non so se questo è il metodo adottato nelle dispense, ma di certo è il metodo più veloce.
P.S.: Giuro che non ho sfogliato le dispense prima di scrivere... Le ho guardate solo dopo aver postato il messaggio e mi sono accorto non solo di aver avuto la stessa intuizione per la risoluzione, ma anche di aver utilizzato la stessa notazione per la funzione della sola [tex]$y$[/tex].
Paura!!!
Giusto
!Solo una cosa non mi è chiara, come stabilisco che la y deve variare fra più e meno 3?Immagino che debba ricavare questa informazione dal vincolo ma come? Grazie:)!
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