Massimo limite, dimostrazione

[Seneca1]

Salve.

Devo dimostrare che:

$lim_{ x -> x0 } max f(x) <= a$ (=costante) $iff$ $AA\epsilon > 0, EE\delta > 0$ : $AA x$ : $0 < | x - x_0| < \delta$ sia $f(x) <= a + \epsilon$

Io ho proceduto così per dimostrare la sufficienza:

Per definizione $lim_{ x -> x0 } max f(x) = $ inf $ [ $per$ {\delta >0} ] $sup$ [ $per$ {0<|x - x_0|<\delta} ] f(x)$

e per semplicità pongo
$S = $sup$ [ per {0<|x-x_0|<\delta}] f(x)$
$ i = $inf $S$

In virtù della def di estremo inferiore:

1) $AA\epsilon > 0 EE f(\bar{x}) in S : f(\bar{x}) < i + \epsilon$

2) $AA f(x) in S, f(x) >= i$ (i è un minorante dell'insieme S)


Sicché, fissato $\epsilon > 0$, $EE \bar{x} : AA x : 0 < | x - x_0 | < \delta ( = |\bar{x} - x_0|)$ sia $f(x) < i + \epsilon$
quindi, per ipotesi, sia $f(x) < a + \epsilon$.


E' corretto concettualmente? Scusate per "l'impostazione formale" un po', forse, confusa.

[gugo82]

$lim_(x\to x_0) max f(x)$ è il massimo limite, vero?

Ad ogni modo, ricordando che $S=S(delta)$ (infatti $S$ dipende unicamente da $delta$ e non da $x$ -che viene "saturata" dal passaggio all'estremo superiore-) la 1) andrebbe rimpiazzata con:

1') $\forall epsilon >0,\ \exists bar{delta} >0: S(\bar{delta}) 0)$)

e, per la stessa definizione degli $S(delta)$, la disuguaglianza $S(bar{delta})
$AA x " con " 0<|x-x_0|

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[Seneca1]

Ti ringrazio immantinente.

Quindi concettualmente il mio ragionamento era corretto, considerando che $\bar{x}$ l'avevo considerato come $\bar{\delta} + x_0$ ?


Grazie ancora per l'ausilio.

[dissonance]

[OT] @Seneca: Quando vuoi inserire del testo nelle formule matematiche è meglio usare il comando \text{} oppure mettere il testo tra virgolette (ma le virgolette non funzionano fuori da questo forum). Esempio:
\$"sup"{x\inQQ\ |\ x^2<2}\$ produce $"sup"{x\inQQ\ |\ x^2<2}$.
E' più leggibile del tuo
sup${x\inQQ\ |\ x^2<2}$.[/OT]

[Seneca1]

"dissonance":[OT] @Seneca: Quando vuoi inserire del testo nelle formule matematiche è meglio usare il comando \text{} oppure mettere il testo tra virgolette (ma le virgolette non funzionano fuori da questo forum). Esempio:
\$"sup"{x\inQQ\ |\ x^2<2}\$ produce $"sup"{x\inQQ\ |\ x^2<2}$.
E' più leggibile del tuo
sup${x\inQQ\ |\ x^2<2}$.[/OT]

Grazie Dissonance. Non ho ancora pratica con il linguaggio adottato dal forum.

Terrò presente per il futuro.