Massimo in dominio aperto
Salve, avrei una domanda da fare; non so se quello che sto per chiedere è per un vuoto di memoria che ho dei corsi di analisi o perchè quest'argomento non si è affrontato nei corsi fatti da me.
Dovrei dimostrare che la funzione (che poi altro non è che il modulo di poisson per i solidi elastici) $1/2(lambda)/(lambda+mu)$ SOLO NEL DOMINIO $mu>=0, lambda>=-2/3mu$ è limitata in (0,0) , e che ha massimo 1/2 e minimo -1..
Io non so nè come fare a dimostrare che è limitata in 0 in questa fetta di piano, nè trovare i massimi e minimi in generale, visto che il dominio è illimitato ed è esclusa l'origine quindi anche aperto.
Io mi son detto che poichè non ha punti stazionari nel dominio sudddetto, i massimi e minimi devono esser per forza nei bordi..direi che è giusto, attendo conferma...la limitatezza in 00 invece buio
Qualcuno mi può illustrare? grazie
Dovrei dimostrare che la funzione (che poi altro non è che il modulo di poisson per i solidi elastici) $1/2(lambda)/(lambda+mu)$ SOLO NEL DOMINIO $mu>=0, lambda>=-2/3mu$ è limitata in (0,0) , e che ha massimo 1/2 e minimo -1..
Io non so nè come fare a dimostrare che è limitata in 0 in questa fetta di piano, nè trovare i massimi e minimi in generale, visto che il dominio è illimitato ed è esclusa l'origine quindi anche aperto.
Io mi son detto che poichè non ha punti stazionari nel dominio sudddetto, i massimi e minimi devono esser per forza nei bordi..direi che è giusto, attendo conferma...la limitatezza in 00 invece buio
Qualcuno mi può illustrare? grazie
Risposte
La funzione [tex]$f(\lambda, \mu):=\tfrac{\lambda}{\lambda +\mu}$[/tex] è omogenea di grado zero, quindi è costante su ogni retta uscente dall'origine; pertanto basta scegliere di far variare [tex]$(\lambda ,\mu)$[/tex] sul più grande arco della circonferenza unitaria contenuto nell'angolo [tex]$\{ \mu \geq 0, \lambda \geq -\tfrac{2}{3} \mu\}$[/tex] e studiare la funzione di un'unica variabile che ne viene fuori.
Ciò si può fare in almeno un paio di modi: o si sostituisce [tex]$\mu =\sqrt{1-\lambda^2}$[/tex] e si considera [tex]$f(\lambda, \sqrt{1-\lambda^2})$[/tex] per [tex]$\lambda \in [-\tfrac{2}{\sqrt{13}},1]$[/tex]; oppure si parametrizza tutto secondo l'arco sostituendo [tex]$\lambda=\sin \theta,\ \mu =\cos \theta$[/tex] e si studia [tex]$f(\sin \theta ,\cos \theta)$[/tex] con [tex]$\theta \in [-\arctan \tfrac{2}{3}, \tfrac{\pi}{2}]$[/tex].
Prendendo la prima strada si ha:
[tex]$\phi(\lambda):=f(\lambda, \sqrt{1-\lambda^2}) =\frac{\lambda}{\lambda +\sqrt{1-\lambda^2}}$[/tex];
la derivata prima è:
[tex]$\phi^\prime (\lambda) =\frac{1}{\lambda +\sqrt{1-\lambda^2}} - \frac{\lambda}{(\lambda +\sqrt{1-\lambda^2})^2}\ \left( 1- \frac{\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}}\right)$[/tex]
che è sempre positiva in [tex]$[-\tfrac{2}{\sqrt{13}} ,1[$[/tex], ergo il massimo ed il minimo di [tex]$\phi$[/tex] sono presi negli estremi dell'intervallo e valgono, rispettivamente, [tex]$-2$[/tex] ed [tex]$1$[/tex].
Per ottenere il tuo risultato basta ricordarsi di dividere per [tex]$2$[/tex].
Ciò si può fare in almeno un paio di modi: o si sostituisce [tex]$\mu =\sqrt{1-\lambda^2}$[/tex] e si considera [tex]$f(\lambda, \sqrt{1-\lambda^2})$[/tex] per [tex]$\lambda \in [-\tfrac{2}{\sqrt{13}},1]$[/tex]; oppure si parametrizza tutto secondo l'arco sostituendo [tex]$\lambda=\sin \theta,\ \mu =\cos \theta$[/tex] e si studia [tex]$f(\sin \theta ,\cos \theta)$[/tex] con [tex]$\theta \in [-\arctan \tfrac{2}{3}, \tfrac{\pi}{2}]$[/tex].
Prendendo la prima strada si ha:
[tex]$\phi(\lambda):=f(\lambda, \sqrt{1-\lambda^2}) =\frac{\lambda}{\lambda +\sqrt{1-\lambda^2}}$[/tex];
la derivata prima è:
[tex]$\phi^\prime (\lambda) =\frac{1}{\lambda +\sqrt{1-\lambda^2}} - \frac{\lambda}{(\lambda +\sqrt{1-\lambda^2})^2}\ \left( 1- \frac{\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}}\right)$[/tex]
che è sempre positiva in [tex]$[-\tfrac{2}{\sqrt{13}} ,1[$[/tex], ergo il massimo ed il minimo di [tex]$\phi$[/tex] sono presi negli estremi dell'intervallo e valgono, rispettivamente, [tex]$-2$[/tex] ed [tex]$1$[/tex].
Per ottenere il tuo risultato basta ricordarsi di dividere per [tex]$2$[/tex].
Ecco vedi, non ho assolutamente idea di cosa tu stia parlando 
Come mai se è omogenea di grado zero è costante su tutte le rette uscenti dall'origine? E poi anche se è così come mai non c'è il discorso che potrebbe divergere in 00 se arrivo sull'orgine con altri cammini?
Poi alla fine tutti i valori che assoume nell'arco da te detto per la questione della costanza sulle rette sono quelli a cui tende la funzione sui diversi cammini nell'origine?
Come mai se è omogenea di grado zero è costante su tutte le rette uscenti dall'origine? E poi anche se è così come mai non c'è il discorso che potrebbe divergere in 00 se arrivo sull'orgine con altri cammini?
Poi alla fine tutti i valori che assoume nell'arco da te detto per la questione della costanza sulle rette sono quelli a cui tende la funzione sui diversi cammini nell'origine?
Che una funzione omogenea di grado zero sia costante sulle rette uscenti da [tex]$o=(0,0)$[/tex] discende dalla definizione.
Infatti dire che una funzione è positivamente omogenea di grado [tex]$\alpha$[/tex] significa dire che per ogni [tex]$(\lambda ,\mu)$[/tex] nel suo insieme di definizione risulta:
per ogni [tex]t> 0$[/tex] tale che [tex]$(t\lambda , t\mu )$[/tex] sta nell'insieme di definizione di [tex]$f$[/tex], risulta [tex]$f(t\lambda ,t\mu ) = t^\alpha f(\lambda ,\mu )$[/tex];
se [tex]$\alpha =0$[/tex] l'uguaglianza precedente diventa [tex]$f(t\lambda ,t\mu) = f(\lambda ,\mu)$[/tex], sicché se [tex]$(\lambda, \mu)$[/tex] vivono in un insieme che contiene almeno un pezzo della la semiretta per [tex]$o$[/tex] e [tex]$(\lambda, \mu)$[/tex] (la quale è formata proprio da punti del tipo [tex]$(t\lambda ,t\mu)$[/tex] con [tex]$t> 0$[/tex]) si ha che [tex]$f$[/tex] è costante su tale pezzo di semiretta.
Quindi le funzioni omogenee definite in un angolo con vertice in [tex]$o$[/tex] sono completamente determinate dai valori che esse assumono su una qualunque curva contenuta nell'angolo la quale intersechi una ed una sola volta ogni semiretta uscente da [tex]$o$[/tex] che giace nell'angolo; in particolare il codominio di una funzione omogenea coincide con quello di una sua restrizione ad una qualsiasi curva del tipo appena detto.
Infatti, fissata una curva [tex]$\Gamma$[/tex] con le proprietà richieste, se [tex]$f_0$[/tex] è un valore assunto da [tex]$f$[/tex] in un punto [tex]$(\lambda ,\mu)$[/tex] dell'angolo, allora esso è assunto su ogni punto della semiretta [tex]$s$[/tex] condotta per [tex]$o$[/tex] e [tex]$(\lambda ,\mu)$[/tex]; quindi, detto [tex]$(\lambda_s, \mu_s)$[/tex] l'unico punto in [tex]$\Gamma \cap s$[/tex], per omogeneità si ha [tex]$f(\lambda_s, \mu_s) =f(\lambda, \mu)=f_0$[/tex] perciò [tex]$f_0$[/tex] è nell'immagine di [tex]$f\Big|_\Gamma$[/tex].
Viceversa, se [tex]$f_0$[/tex] è un punto nell'immagine della restrizione [tex]$f\Big|_\Gamma$[/tex], è banale che [tex]$f_0$[/tex] sia nell'immagine di [tex]$f$[/tex] (per definizione, l'immagine di una restrizione è contenuta nell'immagine della funzione originaria).
Comunque, queste sono cose su cui avresti dovuto ragionare quando hai risolto millemila limiti di Analisi II... Mi pare strano che tu non abbia notato questa particolarità quando parametrizzavi in coordinate polari per risolvere i limiti e, "magicamente", ti scomparivano tutti i [tex]$\rho$[/tex].
Infatti dire che una funzione è positivamente omogenea di grado [tex]$\alpha$[/tex] significa dire che per ogni [tex]$(\lambda ,\mu)$[/tex] nel suo insieme di definizione risulta:
per ogni [tex]t> 0$[/tex] tale che [tex]$(t\lambda , t\mu )$[/tex] sta nell'insieme di definizione di [tex]$f$[/tex], risulta [tex]$f(t\lambda ,t\mu ) = t^\alpha f(\lambda ,\mu )$[/tex];
se [tex]$\alpha =0$[/tex] l'uguaglianza precedente diventa [tex]$f(t\lambda ,t\mu) = f(\lambda ,\mu)$[/tex], sicché se [tex]$(\lambda, \mu)$[/tex] vivono in un insieme che contiene almeno un pezzo della la semiretta per [tex]$o$[/tex] e [tex]$(\lambda, \mu)$[/tex] (la quale è formata proprio da punti del tipo [tex]$(t\lambda ,t\mu)$[/tex] con [tex]$t> 0$[/tex]) si ha che [tex]$f$[/tex] è costante su tale pezzo di semiretta.
Quindi le funzioni omogenee definite in un angolo con vertice in [tex]$o$[/tex] sono completamente determinate dai valori che esse assumono su una qualunque curva contenuta nell'angolo la quale intersechi una ed una sola volta ogni semiretta uscente da [tex]$o$[/tex] che giace nell'angolo; in particolare il codominio di una funzione omogenea coincide con quello di una sua restrizione ad una qualsiasi curva del tipo appena detto.
Infatti, fissata una curva [tex]$\Gamma$[/tex] con le proprietà richieste, se [tex]$f_0$[/tex] è un valore assunto da [tex]$f$[/tex] in un punto [tex]$(\lambda ,\mu)$[/tex] dell'angolo, allora esso è assunto su ogni punto della semiretta [tex]$s$[/tex] condotta per [tex]$o$[/tex] e [tex]$(\lambda ,\mu)$[/tex]; quindi, detto [tex]$(\lambda_s, \mu_s)$[/tex] l'unico punto in [tex]$\Gamma \cap s$[/tex], per omogeneità si ha [tex]$f(\lambda_s, \mu_s) =f(\lambda, \mu)=f_0$[/tex] perciò [tex]$f_0$[/tex] è nell'immagine di [tex]$f\Big|_\Gamma$[/tex].
Viceversa, se [tex]$f_0$[/tex] è un punto nell'immagine della restrizione [tex]$f\Big|_\Gamma$[/tex], è banale che [tex]$f_0$[/tex] sia nell'immagine di [tex]$f$[/tex] (per definizione, l'immagine di una restrizione è contenuta nell'immagine della funzione originaria).
Comunque, queste sono cose su cui avresti dovuto ragionare quando hai risolto millemila limiti di Analisi II... Mi pare strano che tu non abbia notato questa particolarità quando parametrizzavi in coordinate polari per risolvere i limiti e, "magicamente", ti scomparivano tutti i [tex]$\rho$[/tex].
Non me l'hanno mai fatto notare in nessun corso di Analisi che ho fatto...anzi a dirla tutta non hanno mai dimostrato come mai si fa il limite in coordinate polari coi sup o inf theta...
Del resto, i corsi che ho fatto io erano comunque corsi per fisici...Ovvio che non si può fare tutto...
Del resto, i corsi che ho fatto io erano comunque corsi per fisici...Ovvio che non si può fare tutto...
Se ti può consolare anche nei corsi di Analisi per matematici che ho seguito io non si sono mai fatti esercizi sul calcolo dei limiti. Perché il tempo è poco e gli esercitatori preferiscono puntare su massimi e minimi (sul versante differenziale) e integrazione multipla (sul versante integrale), che sono proprio il minimo indispensabile. Il resto sono tutte cose che ti devi vedere da solo, purtroppo...
No io qualche esercizio l'ho visto per mia fortuna sui limiti, ma erano cose molto semplici, i soliti limiti da vedere se esistono o no, da fare o col confronto o con le coordinate polari...solite cose standard, di certo casi particolari come questo non mi sono mai capitati nei corsi di analisi, mi è capitato ora che cercavo di dimostrare come mai il modulo di poisson è compreso tra quei due parametri,visto che tutti lo dicono ma nessuno dice perchè...Poi se non li hai visti te che sei a matematica...purtroppo son del parere che la matematica a fisica non è insegnata a sufficienza, capisco anche però che uno dovrebbe laurearsi in 6 anni come a medicina se dovesse far tutto quello che serve bene, e invece si fanno dei tagli perchè comunque lo spazio per parlare di elettrodinamica, propagazione delle onde, ottica, relatività, meccanica statistica, meccanica quantistica ecc ecc bisognerà pur trovarlo...Mi rivolgevo a gugo che era sorpreso di ciò...
Ad entrambi: scusate, ma mi volete far credere che un limite del tipo:
[tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2}{x^2+3y^2}$[/tex]
non l'avete mai risolto passando alle coordinate polari?
E, se invece l'avete fatto, non vi siete mai accorti di nulla?
Continua a parermi strano... Di solito se una cosa capita due volte la si rubrica facilmente come "incidente" e si va avanti, ma se capita anche la terza volta uno un po' di curiosità se la fa venire.
[tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2}{x^2+3y^2}$[/tex]
non l'avete mai risolto passando alle coordinate polari?
E, se invece l'avete fatto, non vi siete mai accorti di nulla?
Continua a parermi strano... Di solito se una cosa capita due volte la si rubrica facilmente come "incidente" e si va avanti, ma se capita anche la terza volta uno un po' di curiosità se la fa venire.
per me la risposta giusta è la b, non mi sono mai posto il problema del nesso tra il fatto che in coordinate polari spariscano le $rho$ e il fatto che la funzione essendo omogenea di grado 0 è totalmente definita dai valori che assume su una circonferenza intorno all'origine...Per il semplice fatto che non mi ha mai detto nessuno nemmeno cosa sto facendo quando passo in coord polari e faccio il sup ... non so se mi spiego
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