Massimo ed estremo superiore

[Deleted1]

Ho già letto le varie discussioni sul forum ma...
Se l'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti di un insieme (e quindi non fa parte dell'insieme), e il massimo è il valore più grande dell'insieme...
Come fa l'estremo superiore ad appartenere all'insieme se si tratta del più piccolo dei maggioranti (e i maggioranti sono tali perchè non fanno parte dell'insieme)?

Per esempio se ho un insieme $E={1,2,3}$ sottoinsieme dei numeri naturali $N$, i maggioranti sono tutti quei numeri appartententi ad $N$ e $>3$ (quindi 4,5,6....) ?
Il massimo è 3?

So già che è sbagliato ciò che dico, visto che se esiste il massimo dell'insieme coincide con l'estremo superiore, ma non riesco a fare chiarezza.

[Rigel1]

Se rivedi la definizione di maggiorante, da nessuna parte è escluso che possa fare parte dell'insieme (e tale è, appunto, il caso in cui il maggiorante in questione è il massimo).