Massimo e successioni

[damon123]

Buonasera a tutti
avrei dei dubbi sui seguenti esercizi:

1)Siano A=R\Q e B=(0,1), A∩B ammette massimo?
il mio ragionamento è stato: in A si trovano solo i numeri irrazionali, il massimo dovrà essere il primo valore irrazionale che trovo "scendendo" da 1, il numero irrazionale che trovo più vicino a 1 sarà un valore contenuto in A in quanto irrazionale, contenuto in B (perché sto supponendo che esistano numeri irrazionale tra 0 e 1). esso dovrà essere un valore che appartiene all'intersezione nonché il valore "più grande" dell'intersezione, quindi A∩B ammette massimo.
vedendo le soluzioni ho visto che l'esercizio doveva essere falso, cosa sto sbagliando?

2) Sia {bn}n∈N ⊂ (0, +∞) una successione infinitesima, bn è definitivamente decrescente?
poiché bn è infinitesima so che il lim n->inf bn=0, avrei quindi 2 opzioni: o bn tende a 0+ o bn tende a 0- (o da sopra o da sotto l'asse delle x). inoltre nelle ipotesi ho che {bn}n∈N ⊂ (0, +∞) , quindi ho pensato che bn dovesse assumere necessariamente valori positivi e che di conseguenza bn tende a 0 "da sopra l'asse delle x". ho quindi risposto che era vera. anche qua ho visto che però la risposta è falso, perché?

Grazie, spero i miei ragionamenti siano chiari

[Studente Anonimo]

1) Il tuo ragionamento è:
Supponiamo che esiste un massimo. Allora possiede una certa caratteristica \(C\). Dunque esiste un massimo. O restringendo ancor di più.
Supponiamo esiste un massimo, allora esiste un massimo.

Ma non hai dimostrato che esiste un numero con quella caratteristica \(C\) (infatti non esiste). Ti è chiaro il motivo per cui non c'è un massimo?

2) Qual'è la definizione di successione definitivamente decrescente?

[damon123]

1) non proprio scusa. Io sto supponendo che l'intersezione trai due insiemi sia un insieme chiuso, è sbagliato?
2)non è una successione tale che per ogni xn oltre un certo valore x(n+1)

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[Studente Anonimo]

1) Al di là del fatto che non hai mai menzionato da nessuna parte che stai supponendo che l'insieme \(A \cap B \) sia chiuso. In secondo luogo se tu supponi una cosa (che non è tra le ipotesi) e arrivi ad una conclusione ma non dimostri che con le ipotesi a tua disposizione riesci a dedurre la tua supposizione iniziale allora il tuo ragionamento è falsificato perché hai aggiunto un ipotesi.
Quindi prova a dimostrare che \( A \cap B \) sia chiuso e vedrai qual'è il problema.

2) Sì, quindi vuoi dire che esiste \( N \) a partire dal quale, per ogni \(n \geq N \) si ha \( x_{n+1} < x_n \).
Bene tu hai che i tuoi \( \{ x_n \}_n \subset (0,\infty ) \) ovvero sono positivi. Come fai a concludere dal fatto che sono positivi e che \( \lim_{ n \to \infty} x_n = 0 \) che esiste un tale \(N\) ?

ps: se un insieme è chiuso non ha necessariamente un massimo, in \( \mathbb{R} \) dev'essere un compatto, tra l'altro, pensa a \( \mathbb{R} \), è chiuso ma non ha massimo, oppure a \( [0,\infty) \) è chiuso ma non ha massimo.

pps: se rileggi bene il tuo ragionamento così come lo hai scritto nel 1) hai proprio detto, se esiste un massimo allora è un massimo quindi esiste un massimo.

[Studente Anonimo]

"sofia123":
1)Siano A=R\Q e B=(0,1), A∩B ammette massimo?
il mio ragionamento è stato: in A si trovano solo i numeri irrazionali, il massimo dovrà essere il primo valore irrazionale che trovo "scendendo" da 1

Qui stai implicitamente supponendo l'esistenza di un massimo.

"sofia123":
, il numero irrazionale che trovo più vicino a 1 sarà un valore contenuto in A in quanto irrazionale, contenuto in B (...) esso dovrà essere un valore che appartiene all'intersezione nonché il valore "più grande" dell'intersezione

Qui stai dicendo il massimo è un massimo. Sono cose ovvie quelle che hai scritto, infatti è ovvio che se esiste un massimo esso è il più grande dell'intersezione per definizione di massimo. Inoltre non hai bisogno di supporre che è irrazionale perché nella tua intersezione ci sono solo irrazionali compresi tra \((0,1)\).

ps:

"sofia123":
(perché sto supponendo che esistano numeri irrazionale tra 0 e 1)

questo non ha senso supporlo, lo sai che esistono numeri irrazionali tra 0 e 1.

Mentre per il punto 2, non hai detto nulla che non fosse nelle ipotesi.

"sofia123":
2) Sia {bn}n∈N ⊂ (0, +∞) una successione infinitesima, bn è definitivamente decrescente?
poiché bn è infinitesima so che il lim n->inf bn=0, avrei quindi 2 opzioni: o bn tende a 0+ o bn tende a 0- (o da sopra o da sotto l'asse delle x).

È falso. A priori una successione infinitesima potrebbe tendere a \(0\) continuando a cambiare segno. Prendi \( (-1)^n/n\). Ma non è un problema nel tuo caso specifico perché la successione è composta da numeri positivi.

"sofia123":
inoltre nelle ipotesi ho che {bn}n∈N ⊂ (0, +∞) , quindi ho pensato che bn dovesse assumere necessariamente valori positivi e che di conseguenza bn tende a 0 "da sopra l'asse delle x"

Embe... questo è nelle ipotesi.

"sofia123":
ho quindi risposto che era vera. anche qua ho visto che però la risposta è falso, perché?

Ti traduco quello che hai scritto.

Se \( \{b_n\}_n \subset (0,\infty) \) è una successione infinitesima allora è definitivamente decrescente.

Ma è esattamente la domanda che ti si chiede di dimostrare o confutare.

[damon123]

grazie mille per i chiarimenti, ho capito quello che stai dicendo sulla seconda domanda, ora provo a vedere la questione dell'intersezione tra A e B e dell' insieme chiuso

[Studente Anonimo]

Ti do un suggerimento quell'insieme non è ne aperto ne chiuso. Infatti l'1 non lo risolvi così.
Se non hai capito il motivo per cui quell'insieme non ha massimo prova a prendere un numero irrazionale arbitrario della forma \(a:= 0.a_1 a_2 a_3 \ldots \), nota che \( 0 < a < 1 \) e prova a trovare un numero irrazionale \( 0 < b < 1 \) tale che \( a < b \). Per arbitrarietà di \(a\) hai dimostrato che quel tuo insieme non ha massimo.
Così come se non ti è chiaro il motivo per cui la successione non dev'essere definitivamente decrescente (prova a trovare un controesempio tu).