Massimo e minimo vincolati funzione trigonometrica
Salve a tutti.
Avrei bisogno di un aiuto riguardante un esercizio. Credo il mio sia un problema di calcolo, in quanto credo di aver capito l'argomento.
Allora,
sia $f(x,y) = (x^2 + y^2 +1) sen(x^2 + y^2)$. Studiare i massimi e minimi sull'insieme $E={ (x,y)€R^2 : 0 <= x^2 + y^2 <= pi}$.
Ho iniziato la risoluzione in questo modo:
osservo prima di tutto che la $f(x,y)$ è definita in tutto $R^2$.
Poi disegno l'insieme $E$ che ovviamente è un compatto su $R^2$. In più la $f(x,y)$ è continua, pertanto so che esistono il massimo e il minimo su $E$ perla funzione.
Per quanto riguarda lo studio, esso può essere diviso in due punti.
Il primo (e qui ho un problema) è lo studio dei punti interni a $E$.
Quindi studio le derivate parziali ed ottengo
$fx = 2x[sen(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 + 1) cos(x^2 +y^2)] $ e
$fy = 2y[sen(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 + 1) cos(x^2 +y^2)] $
Ora studio i punti in cui si annulla il gradiente e l'unico punto è $P (0,0)$ .
****Qui penso di aver avuto un problema nella risoluzione del sistema. Infatti non sono del tutto certo che sia l'unico punto. Potreste indicarmi come dovrei svolgerlo? il dubbio che mi viene è che (una volta applicato la legge dell'annullamento del prodotto e aver ottenuto il punto $P$ come soluzione) non so trattare bene l'altra parte. ****
Osservo che $f(0,0) = 0$ .
Ora devo studiare i punti sul bordo e posso usare Lagrange oppure posso riportare il problema ad una funzione di una sola variabile.
Se vado con Lagrange credo di avere ancora gli stessi problemi / dubbi del sistema di prima.
Con la parametrizzazione effettivamente non ho ancora provato, vorrei togliermi prima questo dubbio.
Per concludere, una volta trovati i punti stazionari (oltra a $P$) sul bordo del vincolo, calcolo il valore assunto dalla funzione su questi e concludo se sono di max o min.
Spero possiate aiutarmi.
Grazie
Avrei bisogno di un aiuto riguardante un esercizio. Credo il mio sia un problema di calcolo, in quanto credo di aver capito l'argomento.
Allora,
sia $f(x,y) = (x^2 + y^2 +1) sen(x^2 + y^2)$. Studiare i massimi e minimi sull'insieme $E={ (x,y)€R^2 : 0 <= x^2 + y^2 <= pi}$.
Ho iniziato la risoluzione in questo modo:
osservo prima di tutto che la $f(x,y)$ è definita in tutto $R^2$.
Poi disegno l'insieme $E$ che ovviamente è un compatto su $R^2$. In più la $f(x,y)$ è continua, pertanto so che esistono il massimo e il minimo su $E$ perla funzione.
Per quanto riguarda lo studio, esso può essere diviso in due punti.
Il primo (e qui ho un problema) è lo studio dei punti interni a $E$.
Quindi studio le derivate parziali ed ottengo
$fx = 2x[sen(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 + 1) cos(x^2 +y^2)] $ e
$fy = 2y[sen(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 + 1) cos(x^2 +y^2)] $
Ora studio i punti in cui si annulla il gradiente e l'unico punto è $P (0,0)$ .
****Qui penso di aver avuto un problema nella risoluzione del sistema. Infatti non sono del tutto certo che sia l'unico punto. Potreste indicarmi come dovrei svolgerlo? il dubbio che mi viene è che (una volta applicato la legge dell'annullamento del prodotto e aver ottenuto il punto $P$ come soluzione) non so trattare bene l'altra parte. ****
Osservo che $f(0,0) = 0$ .
Ora devo studiare i punti sul bordo e posso usare Lagrange oppure posso riportare il problema ad una funzione di una sola variabile.
Se vado con Lagrange credo di avere ancora gli stessi problemi / dubbi del sistema di prima.
Con la parametrizzazione effettivamente non ho ancora provato, vorrei togliermi prima questo dubbio.
Per concludere, una volta trovati i punti stazionari (oltra a $P$) sul bordo del vincolo, calcolo il valore assunto dalla funzione su questi e concludo se sono di max o min.
Spero possiate aiutarmi.
Grazie
Risposte
Ciao,
Il punto critico che trovi dallo studio delle derivate parziali credo sia solo $ P(0,0) $, dato che (ponendo $ x^2+y^2 =t $ ):
$ sint/cost=-(t+1) $
$ t=arctan(-t-1) $
Per lo studio degli estremi vincolati, avendo l'insieme $ E $ che è una circonferenza, ti consiglio di paramentrizzare così: $ x=sqrtpicost $ e $ y=sqrtpisint $. E poi applichi il procedimento standard.
Il punto critico che trovi dallo studio delle derivate parziali credo sia solo $ P(0,0) $, dato che (ponendo $ x^2+y^2 =t $ ):
$ sint/cost=-(t+1) $
$ t=arctan(-t-1) $
Per lo studio degli estremi vincolati, avendo l'insieme $ E $ che è una circonferenza, ti consiglio di paramentrizzare così: $ x=sqrtpicost $ e $ y=sqrtpisint $. E poi applichi il procedimento standard.
Dubito che questo esercizio sia da risolvere con i moltiplicatori, ma vuole farti ragionare sulla simmetria del problema.
Un modo banale per risolvere:
Poni $r:=x^2+y^2$ diventa $f(r)=(r+1)sinr$ con $r in [0,pi]$.
E diventa un problema di analisi 1 facilmente risolvibile.
Altrimenti, è facile vedere i punti di massimo e minimo su $E$ ad occhio.
Infatti $f(x,y)$ è un prodotto di 2 funzioni, entrambe positive su $E$ e i fattori sono più grandi quanto più sei lontano dal centro. Cioè i punti di massimo sono il bordo di $E$ e i punti di minimo l'origine stessa. Ti torna?
Un modo banale per risolvere:
Poni $r:=x^2+y^2$ diventa $f(r)=(r+1)sinr$ con $r in [0,pi]$.
E diventa un problema di analisi 1 facilmente risolvibile.
Altrimenti, è facile vedere i punti di massimo e minimo su $E$ ad occhio.
Infatti $f(x,y)$ è un prodotto di 2 funzioni, entrambe positive su $E$ e i fattori sono più grandi quanto più sei lontano dal centro. Cioè i punti di massimo sono il bordo di $E$ e i punti di minimo l'origine stessa. Ti torna?
Ringrazio entrambi per la risposta.
Effettivamente @Ernesto81, credo che è proprio ciò che vuole il prof, che non ha mai svolto molti calcoli, nei pochi esercizi svolti a lezione, ma cercava di farci ragionare.
Secondo te, se all'esame con un colpo d'occhio (dopo che c'ho fatto un pò di pratica) riesco a vedere direttamente i punti, posso scriverlo direttamente, ovviamente commentando come sono arrivato alla soluzione, o comunque dovrei parametrizzare come nel tuo proposto metodo 1?
Comunque di nuovo grazie.
Effettivamente @Ernesto81, credo che è proprio ciò che vuole il prof, che non ha mai svolto molti calcoli, nei pochi esercizi svolti a lezione, ma cercava di farci ragionare.
Secondo te, se all'esame con un colpo d'occhio (dopo che c'ho fatto un pò di pratica) riesco a vedere direttamente i punti, posso scriverlo direttamente, ovviamente commentando come sono arrivato alla soluzione, o comunque dovrei parametrizzare come nel tuo proposto metodo 1?
Comunque di nuovo grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo