Massimo e minimo su la Frontiera

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi come dice il titolo dovrei studiare la funzione su una frontiera di due curve

$f(x,y)=xy^2ln(x^2+y^2)$ su $D:{(x,y):1<=x^2+y^2<=4}$

per iniziare divido $D:{(S1=x^2+y^2=1),(S2=x^2+y^2=4):}$

quindi analizziamo la curva $S2$ un consiglio che ci ha dato la prof e quello di parametrizzare in coordinate polari
quindi:

${(x=2cos(theta)),(y=2sin(theta)):}$ con $thetain[-pi,pi]$ (perche questo intervallo ?? non dovrebbe essere tra $[0,2pi]$)

poi vado a calcolare la mia funzione ristretta alla curva che chiamiamo $g(theta)$ quindi

$g(theta)=8cos(theta)sin(theta)^2ln(4)$ derivo
$g'(theta)=-8ln(4)sin(theta)^3+16ln(4)cos(theta)^2sin(theta)$ pongo la derivata prima a zero

$-8ln(4)sin(theta)^3+16ln(4)cos(theta)^2sin(theta)=0$
e la riscrivo come $8ln(4)sin(theta)(2-3sin^2(theta))=0$
quindi si annulla per $theta=0$ e poi risolvendo l equazione esce $theta=arcsin(+-sqrt(2/3))$

se fin qui e tutto giusto vado a sostiutire i valori di $theta$ nel equazione sopra e trovo i punti critici ,giusto???

cioè $P1(0,0)$ $P2(ln(4)16/3sqrt(2/3),arcsin(+sqrt(2/3))) P3(ln(4)16/3sqrt(2/3),arcsin(-sqrt(2/3)))$
inoltre sapendo che arcsin è simmetrico rispetto all origine ci sono altri due punti co periodicità di $+-kpi/2$

adesso sostituisco questi punti nella funzione iniziale $f(x,y)$ e vede quale il piu grande e il piu piccolo cosi affermo che si tratta di massimi assoluti e minimi assoluti giusto ???

mentre per $S1$ non ce nulla da dire in quanto la funzione ristretta è zero quindi è un possibile punto di minimo che deve essere confrontato con gli altri

[gio73]

Ciao
io faccio parecchia difficoltà nei conti, mi distraggo e faccio errori.
Ad ogni modo mi par di capire che la zona in cui tu vuoi controllare la tua funzione sia una corona circolare delimitata da due circonferenze aventi il centro nell'origine, una di raggio 1 $S_1$ e l'altra di raggio 2, $S_2$. Se le cose stanno così il punto $P_1(0;0)$ non appartiene al dominio, does it?

[alessandro.roma.1654]

ciao gio forse ho scritto male io ma il punto 0,0 è una coppia di coordinate della circonferenza che ha $ theta=0$ e $g(theta)=0$ quindi per essere chiari è il punto in cui angolo è zero su la circonferenza perche è messa in forma parametrica quindi non sto studiando il punto di coordinate (0,0) nel piano x,y

[gio73]

Quindi il punto $P_1$ ha coordinate cartesiane $(2;0)$, doesn't it?

[alessandro.roma.1654]

yes!! infatti per vedere se è giusto basta sostituire $theta$ e $g(theta)$ nelle equazioni di trasformazione da cartesiane in polari e trovi proprio che x=2 e y=0

[gio73]

"alessandrof10":

$g(theta)=8cos(theta)sin(theta)^2ln(4)$ derivo
$g'(theta)=-8ln(4)sin(theta)^3+16ln(4)cos(theta)^2sin(theta)$ pongo la derivata prima a zero

$-8ln(4)sin(theta)^3+16ln(4)cos(theta)^2sin(theta)=0$
e la riscrivo come $8ln(4)sin(theta)(2-3sin^2(theta))=0$
quindi si annulla per $theta=0$

fino qui ti seguo, ma mi domando: il seno non si annulla anche per $theta=pi$?


un'altra cosa...
l'intervallo lo scriverei così $-pi

Cita

Segnala

[alessandro.roma.1654]

anche il seno si si annulla per zero e pigreco infatti mi sono dimenticato la periodicita di kpigreco

[gio73]

una cosa che potrebbe essere utile è lo studio del segno, hai provato a farlo?

[alessandro.roma.1654]

allora rigel mi sono messo e mi sono calcolato tutto i risultati sono che i punti di massimo sono quelli a destra della circonferenza cioè i punti in cui $theta=+-arcsin(sqrt(2/3))$ che corrispondono in coordinate cartesiane a $P=(2/sqrt(3),+-2sqrt(2/3))$ mentre i minimi sono quelli a sinistra cioè gli angoli di periodicita $+-pi/2$ penso che hai capito quali siano poi cè un punto di sella in (0,0) e poi un dubbio che mi è venuto è il seguente che mi hai fatto notare tu...cioè il seno non si annulla solo per $0$ er $pi$ infatti se scriviamo $sen(theta)=0 =>theta=arcsin(0)=0+kpi/2 $ ma la periodicità del arcsin e proprio $pi/2$ infatti la funzione è zero anche a $pi/2$cioè al punto di coordinarte $(0,2)$ e $(0,-2)$ infatti se sostituiamo questi valori nella funzione iniziale cioè $xy^2ln(x^2+y^2)$ esce che infatti viene zero giusto ???

[gio73]

"alessandrof10":allora rigel

Ti illumino come una stella, eh?!
Non sono rigel, purtroppo.
Anyway, come ti ho già detto faccio abbastanza pena con i conti e devo procedere con molta lentezza, quindi indossiamo gli stivali di ghisa e procediamo.
Facendo lo studio del segno mi trovo la nostra corona circolare divisa nei quattro quadranti, la funzione vale zero lungo la circonferenza più interna e lungo gli assi, do you agree?
Per il punti di massimo e minimo sono d'accordo con te. L'unica cosa lungo l'asse x direi che ci sono dei punti critici ma non dei massimi o minimi del nostro domino.
La parte centrale del tuo ultimo post però la trovo un po' confusa.

[alessandro.roma.1654]

scusami gio non sono da dove mi sia uscito fuori rigel comunque sia sono d accordo su quello che dici infatti su gli assi x e y in corrispondenza dei 4 punti critici non sappiamo se sono massimi e minimi ma vedendo il grafico mi sembra che quelli lungo x siano delle selle e quelle lungo y dei minimi...poi nella parte centrale ti stavo dicendo dove si trovavano i massimi e minimi

[gio73]

Dunque io penso, ma potrei sbagliare, che abbiamo due punti di massimo a pari merito e sono $M_1(+2/(sqrt3);+2sqrt(2/3))$ e$M_2(+2/(sqrt3);-2sqrt(2/3))$; mentre i due minimi a pari merito sono $m_1(-2/(sqrt3);+2sqrt(2/3))$ e$m_2(-2/(sqrt3);-2sqrt(2/3))$

[alessandro.roma.1654]

sisi giusto poi ho un altro dubbio teorico... riguardante un altro esercizio se prendo una funzione e la restringo e ne faccio la derivata prima, ma la derivata prima non si annulla mai posso dire che i massimi e i minimi sono gli estremi dell intervallo ???
esempio $e^(3x)$ tra $[a,b]$ se la derivo $3e^(3x)$ non si annulla mai quindi i massimi e il minimo sono i suoi estremi cioè $a$ minimo e $b$ massimo solo se $b>a$ ovviamente...poi un altro dubbio che mi è venuto in mente ma molto importante è : dalla derivata seconda ,quindi dalla concavità e convessità della funzione in un punto posso dire se in quel punto la funzione ha un massimo o un minimo ??? (di solito si studio il segno della derivata prima per questo ) te lo dico perche la mia prof per vedere se è massimo o minimo studia la derivata seconda esmepio :

$g(x)=(5-x^2)e^(-25) => g'(x)=-2xe^(-25)$ si annulla per $x=0$ poi $g''(x)=-2e^(-25) <0$ quindi è un massimo