Massimo e minimo in un intervallo
$f(x)=logx - sqrt(x)$
come si stabilisce se questa funzione ha un valore minimo ed un valore massimo nell'intervallo $[1,5]$ ??
e in caso affermativo come si calcolano i valori??
come si stabilisce se questa funzione ha un valore minimo ed un valore massimo nell'intervallo $[1,5]$ ??
e in caso affermativo come si calcolano i valori??
Risposte
Si pone la derivata uguale a zero e si ricavano i valori. Se sono all'interno dell'intervallo ci sei, altrimenti sono uno dei due estremi dell'intervallo.
ad esempio:
per cercare massimo e minimo di $f(x)= x + sqrt(x)$ nell'intervallo $[-2,2]
la derivata è
$1+ 1/(2sqrt(x))$
ponendola uguale a zero ottengo
$x= 1/4$
quindi
$f(1/4)= 3/4$
e poi?
per cercare massimo e minimo di $f(x)= x + sqrt(x)$ nell'intervallo $[-2,2]
la derivata è
$1+ 1/(2sqrt(x))$
ponendola uguale a zero ottengo
$x= 1/4$
quindi
$f(1/4)= 3/4$
e poi?
nel esempio che hai proposto c'è un piccolo problema relativo al dominio...
la $ f(x)=x+sqrt(x) $ è definita per ogni x>0 e quindi l'intervallo nn va bene..Di conseguenza anche il resto.
ammesso che la f(x) è definita nei reali, come suppongo..
la $ f(x)=x+sqrt(x) $ è definita per ogni x>0 e quindi l'intervallo nn va bene..Di conseguenza anche il resto.
ammesso che la f(x) è definita nei reali, come suppongo..
"Fabiuzzo":
ad esempio:
per cercare massimo e minimo di $f(x)= x + sqrt(x)$ nell'intervallo $[-2,2]
la derivata è
$1+ 1/(2sqrt(x))$
ponendola uguale a zero ottengo
$x= 1/4$
quindi
$f(1/4)= 3/4$
e poi?
non ho capito come fai ad ottenere come soluzione $x=1/4$? a me viene impossibile....
Affinché un punto sia di massimo o di minimo relativo si deve risolvere la seguente equazione $f'(x)= 0$, i valori che soddisfano quest'equazione sono solo probabili punti di massimo o minimo relativi, in quanto potrebbero anche essere punti di flesso.
I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici. Per sapere se questi sono punti di massimo o di minimo per la curva si può procedere studiando il segno della derivata prima, ovvero si impone che $f'(x)>0$ cioè dove la curva è crescente o decrescente
Spero di essere stata chiara
La derivata prima della funzione si annullerebbe per $ sqrt(x)=-1/2 $ se esistesse un valore reale di $x $ tale che etc...
Fabiuzzo ha disinvoltamente elevato al quadrato ottenendo appunto $x=1/4 $
Errore grave !!!
Fabiuzzo ha disinvoltamente elevato al quadrato ottenendo appunto $x=1/4 $
Errore grave !!!
"Fabiuzzo":
la derivata è
$1+ 1/(2sqrt(x))$
ponendola uguale a zero ottengo
$x= 1/4$
$1 + 1/(2sqrt(1/4)) = 1 + 1 = 2 != 0$
La tua derivata è composta da due termini strettamente positivi quindi non si annullerà mai, per cui massimo e minimo sono da ricercare agli estremi.
( Piccola nota: $sqrt(1/4) = 1/2$ e NON $+- 1/2$ )
scusate l'ignoranza 
potreste comunque farmi vedere come svolgere il primo esempio che vi ho fatto? magari capisco meglio
potreste comunque farmi vedere come svolgere il primo esempio che vi ho fatto? magari capisco meglio
$f'(x)=1/x-1/(2sqrt(x))=(2-sqrt(x))/(2x)$ che si annulla in x=4. in particolare è positiva in (1,4) e negativa in (4,5).
per cui il massimo viene assunto per x=4 (f(4)=$log(4)-2$) e il minimo è da ricercare tra i valori assunti ai due estremi:
x=1 (f(1)=-1) e x=5 (f(5)=$log(5)-sqrt(5)$). il minimo tra f(1) e f(5) è f(1)=-1, per cui questo è il minimo richiesto.
spero sia chiaro. ciao.
per cui il massimo viene assunto per x=4 (f(4)=$log(4)-2$) e il minimo è da ricercare tra i valori assunti ai due estremi:
x=1 (f(1)=-1) e x=5 (f(5)=$log(5)-sqrt(5)$). il minimo tra f(1) e f(5) è f(1)=-1, per cui questo è il minimo richiesto.
spero sia chiaro. ciao.
si adesso è chiaro.
quindi generalizzando, se trovo un massimo dallo studio della derivata prima cerco il minimo negli estremi dell'intervello, se trovo un minimo viceversa, e se non trovo nè massimo nè minimo, li cerco entrambi negli estremi. è giusto o ho scritto una cavolata?
quindi generalizzando, se trovo un massimo dallo studio della derivata prima cerco il minimo negli estremi dell'intervello, se trovo un minimo viceversa, e se non trovo nè massimo nè minimo, li cerco entrambi negli estremi. è giusto o ho scritto una cavolata?
grosso-modo sì. in realtà quello che trovi con la derivata prima è solo un massimo relativo e/o un minimo relativo (anche se potrebbe anche essere un flesso a tangente orizzontale se consideri solo dove si annulla la derivata), quindi va comunque valutata la funzione sia agli estremi sia eventualmente in altri punti interni in cui non sia derivabile.
in questo caso è giusto dire che il massimo è nel punto interno ed il minimo in uno dei due estremi perché abbiamo visto che la funzione è derivabile in tutto l'intervallo e dal segno della derivata prima abbiamo pure dedotto che è crescente tra 1 e 4 e decrescente tra 4 e 5, quindi non solo utilizzando l'informazione che la derivata prima si annulla...
spero sia chiaro. ciao.
in questo caso è giusto dire che il massimo è nel punto interno ed il minimo in uno dei due estremi perché abbiamo visto che la funzione è derivabile in tutto l'intervallo e dal segno della derivata prima abbiamo pure dedotto che è crescente tra 1 e 4 e decrescente tra 4 e 5, quindi non solo utilizzando l'informazione che la derivata prima si annulla...
spero sia chiaro. ciao.
adesso è chiaro, grazie.
prego.
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