Massimo e minimo di una funzione(complicata)in piü variabili
Ciao a tutti,
ho la seguente funzione:
$ f(x,y) = x^3+x^2*y+xy^2+y^3-6x-6y$
di cui devo calcolare il massimo o minimo.
Allora ho calcolato le derivate parziali primo ordine.
$fx = 3x^2xy+y^2-6$ $ fy= x^2+2xy+2y^2 -6$
le ho poste uguali a zero e fatto il sistema..(per calcolare i punti critici) solo che il sistema viene un pö difficilino da calcolare . Devo procedere cosi´o c´é un altro modo?(magari con i moltiplicatori di Lagrange?)
ho la seguente funzione:
$ f(x,y) = x^3+x^2*y+xy^2+y^3-6x-6y$
di cui devo calcolare il massimo o minimo.
Allora ho calcolato le derivate parziali primo ordine.
$fx = 3x^2xy+y^2-6$ $ fy= x^2+2xy+2y^2 -6$
le ho poste uguali a zero e fatto il sistema..(per calcolare i punti critici) solo che il sistema viene un pö difficilino da calcolare . Devo procedere cosi´o c´é un altro modo?(magari con i moltiplicatori di Lagrange?)
Risposte
Ricontrolla bene le derivate parziali, c'è qualcosa non corretto in quello che hai scritto.
Poi sottrai membro a membro le due equazioni...
Poi sottrai membro a membro le due equazioni...
Le derivate parziali esatte sono:
$ fx(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2 - 6 $
$ fy(x,y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 6 $
Ora penso sia abbastanza facile trovare i punti stazionari.
$ fx(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2 - 6 $
$ fy(x,y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 6 $
Ora penso sia abbastanza facile trovare i punti stazionari.
scusate ho fatto 2 fogli di calcoli per arrivare quasi alla soluzione di questo sistema.
ho trovato:
$\{(x= 3-2y^2),(y=3-2x^2):}$
penso che comunque ho fatto pure un ´errore di calcolo..
adesso posso in qualche modo dedurre qualcosa o devo semplicemente andare ancora avanti? ( sembra che non ci sia una fine a questo sistema...)
La soluzione tramite software l´ho trovata, sarei comunque interessato come per mano si possa facilmente arrivare...
Io ho calcolato semplicemente atraverso sostituzione ma in qualche modo non ha bene funzionato.
qua tramite software: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+0+%3D+3x^2+%2B+2xy+%2B+y^2+-+6+%2C+0%3D+x^2+%2B+2xy+%2B+3y^2+-+6+
grazie in anticipo..
ho trovato:
$\{(x= 3-2y^2),(y=3-2x^2):}$
penso che comunque ho fatto pure un ´errore di calcolo..
adesso posso in qualche modo dedurre qualcosa o devo semplicemente andare ancora avanti? ( sembra che non ci sia una fine a questo sistema...)
La soluzione tramite software l´ho trovata, sarei comunque interessato come per mano si possa facilmente arrivare...
Io ho calcolato semplicemente atraverso sostituzione ma in qualche modo non ha bene funzionato.
qua tramite software: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+0+%3D+3x^2+%2B+2xy+%2B+y^2+-+6+%2C+0%3D+x^2+%2B+2xy+%2B+3y^2+-+6+
grazie in anticipo..
[quote=DarioBaldini]scusate ho fatto 2 fogli di calcoli per arrivare quasi alla soluzione di questo sistema.
ho trovato:
$\{(x= 3-2y^2),(y=3-2x^2):}$
volevo fare una domanda un pö teorica.
quando ho un sistema con 5 equazioni e 5 incognite (esempio) e le 5 incognite non sono di grado primo, ma terzo secondo ecc.. come posso procedere per evitare di 1 sbagliare e 2ifare 4000 fogli di calcoli.( effettuando sostituzione).
Precisamente c´é un metodo piü efficace della sostituzione?
ho trovato:
$\{(x= 3-2y^2),(y=3-2x^2):}$
volevo fare una domanda un pö teorica.
quando ho un sistema con 5 equazioni e 5 incognite (esempio) e le 5 incognite non sono di grado primo, ma terzo secondo ecc.. come posso procedere per evitare di 1 sbagliare e 2ifare 4000 fogli di calcoli.( effettuando sostituzione).
Precisamente c´é un metodo piü efficace della sostituzione?
Ripropongo il mio suggerimento di sottarrre membro a membro le due equazioni ottenendo $2x^2-2y^2=0 $ da cui $ y^2=x^2 $ e infine $y=+-x $ da cui è facile arrivare alla soluzione.
"Camillo":
Ripropongo il mio suggerimento di sottarrre membro a membro le due equazioni ottenendo $2x^2-2y^2=0 $ da cui $ y^2=x^2 $ e infine $y=+-x $ da cui è facile arrivare alla soluzione.
scusami puoi postare un passaggio?
$ 0 = 3x^2 + 2xy + y^2 - 6 $
$ 0= x^2 + 2xy + 3y^2 - 6 $
per esempio se ho queste due equazioni cosa significherebbe sotrarre membro a membro? sincermento non lo conoscevo come metodo....
Prendi i membri della prima con il loro segno, e quelli della seconda con il segno opposto e li sommi insieme
In alcuni casi può anche essere conveniente sommarli membro a membro (cioè prenderli tutti con il loro segno)
In alcuni casi può anche essere conveniente sommarli membro a membro (cioè prenderli tutti con il loro segno)
faximusy ha già spiegato come si fa a sottarre membro amembro due equazioni.
Io ti dico come mai mi è venuto in mente di fare questo : i termini che " danno fastidio " nella soluzione del sistema sono quelli del tipo $xy $ e dato che appaiono in entrambe le equazioni con lo stesso coefficiente e lo stesso segno a questo punto viene automatico dire : sottraiamo membro a membro così gli elementi in $xy $ si annullano.
Poi fortuna ha voluto che sparissero anche i termini noti rendendo tutto molto facile.
Naturalmente si può generalizzare il discorso nel senso che si può sostituire il sistema di due equazioni con una combinazione lineare delle due equazioni : ad es. moltiplico la prima per 7 e la seconda per -15 e sommo.
Otterrei ancora una equazione conseguente ( mi sembra si dica così ) a quelle date -naturalemnte in questo caso non sarebbe di nessun aiuto.
Io ti dico come mai mi è venuto in mente di fare questo : i termini che " danno fastidio " nella soluzione del sistema sono quelli del tipo $xy $ e dato che appaiono in entrambe le equazioni con lo stesso coefficiente e lo stesso segno a questo punto viene automatico dire : sottraiamo membro a membro così gli elementi in $xy $ si annullano.
Poi fortuna ha voluto che sparissero anche i termini noti rendendo tutto molto facile.
Naturalmente si può generalizzare il discorso nel senso che si può sostituire il sistema di due equazioni con una combinazione lineare delle due equazioni : ad es. moltiplico la prima per 7 e la seconda per -15 e sommo.
Otterrei ancora una equazione conseguente ( mi sembra si dica così ) a quelle date -naturalemnte in questo caso non sarebbe di nessun aiuto.
Grazie!ora ho capito! questo metodo vale anche per un numero indefinito di equazioni o solo per 2?
come possibile risposta mi verrebe da dire che posso sempre accoppiare le due equazioni due a due giusto?
e se non erro tutto questo "trucco" non sarebbe altro un applicazione del metodo del confronto ( solo che non era cosi ovvia per me )
come possibile risposta mi verrebe da dire che posso sempre accoppiare le due equazioni due a due giusto?
e se non erro tutto questo "trucco"
non sarebbe altro un applicazione del metodo del confronto ( solo che non era cosi ovvia per me )
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo