Massimo e minimo di una funzione con esponenziale
Buongiorno a tutti.
Dunque ho questa funzione: $ f(x,y)= xe^(xy-y)-x $ e mi si chiede di fare un classico studio di funzione alla ricerca di massimi e minimi.
Procedo dunque alla ricerca delle derivate parziali che risultano essere:
$ f'_x = e^(xy-y)(1+xy)-1 $
$ f'_y = xe^(xy-y)(x-1) $
Metto dunque a sistema per cercare dove entrambe si annullino:
$\{(e^(xy-y)(1+xy)-1=0),(xe^(xy-y)(x-1)=0):}$
Qui nasce il problema.
Quello che faccio e cercare di annulare la prima riga.
Lo faccio notando che 1 può essere espresso come $ e^0 $ quindi procedo con
$ e^(xy-y)(1+xy)-1=0$ => $ e^(xy-y)(1+xy)$ = $ e^0 $
A questo punto mi viene naturale dire che per fare in modo che tale uguaglianza sia vera dovrò avere che, contemporaneamente:
$\{(xy-y=0),(1+xy = 1):}$
In questo modo avrei infatti: $ e^(0)\cdot 1 = e^(0) $
Da questo ricavo poi due punti dove tale uguaglianza sembra verificata, il punto (1,0) ed il punto (0,0).
Allego uno screenshot di come ho proceduto per maggiore chiarezza
Questo modo di procedere risulta però errato perchè questa prima equazione $ e^(xy-y)(1+xy)-1 $ non si annulla affatto solo in quei due punti, ad una rapida verifica con GeoGebra.
Il modo giusto di procedere sembra essere invece (anche se arrivo allo stesso risultato) ricavare i due valori di x dalla seconda equazione per sostituirli nella prima.
Ma come mai il mio modo di procedere è errato?
Grazie a tutti.
Dunque ho questa funzione: $ f(x,y)= xe^(xy-y)-x $ e mi si chiede di fare un classico studio di funzione alla ricerca di massimi e minimi.
Procedo dunque alla ricerca delle derivate parziali che risultano essere:
$ f'_x = e^(xy-y)(1+xy)-1 $
$ f'_y = xe^(xy-y)(x-1) $
Metto dunque a sistema per cercare dove entrambe si annullino:
$\{(e^(xy-y)(1+xy)-1=0),(xe^(xy-y)(x-1)=0):}$
Qui nasce il problema.
Quello che faccio e cercare di annulare la prima riga.
Lo faccio notando che 1 può essere espresso come $ e^0 $ quindi procedo con
$ e^(xy-y)(1+xy)-1=0$ => $ e^(xy-y)(1+xy)$ = $ e^0 $
A questo punto mi viene naturale dire che per fare in modo che tale uguaglianza sia vera dovrò avere che, contemporaneamente:
$\{(xy-y=0),(1+xy = 1):}$
In questo modo avrei infatti: $ e^(0)\cdot 1 = e^(0) $
Da questo ricavo poi due punti dove tale uguaglianza sembra verificata, il punto (1,0) ed il punto (0,0).
Allego uno screenshot di come ho proceduto per maggiore chiarezza
Questo modo di procedere risulta però errato perchè questa prima equazione $ e^(xy-y)(1+xy)-1 $ non si annulla affatto solo in quei due punti, ad una rapida verifica con GeoGebra.
Il modo giusto di procedere sembra essere invece (anche se arrivo allo stesso risultato) ricavare i due valori di x dalla seconda equazione per sostituirli nella prima.
Ma come mai il mio modo di procedere è errato?
Grazie a tutti.
Risposte
"lackyluk":
A questo punto mi viene naturale dire che per fare in modo che tale uguaglianza sia vera dovrò avere che, contemporaneamente:
$\{(xy-y=0),(1+xy = 1):}$
Non funziona perché questo ragionamento non determina tutto l'insieme delle soluzioni dell'uguaglianza $e^{xy-y}(1+xy)=1$, ma solo un suo sottoinsieme. Non è vero che un'uguaglianza della forma $ae^b=ce^d$ è vera se e solo se $a=c$ e $b=d$, bensì è vero che se $a=c$ e $b=d$, allora $ae^b=ce^d$ ma il contrario è, in generale, falso. Per far vedere che l'altra implicazione è falsa, puoi considerare ad esempio $a=e$, $b=-1$, $c=e^2$ e $d=-2$; ottieni $ee^{-1}=e^2e^{-2}$, ossia ottieni l'uguaglianza vera $1=1$, ma sono $a \ne c$ e $b \ne d$ (bastava una sola non uguaglianza tra le ultime due per confutarlo, non devono essere necessariamente entrambe non uguaglianze). Il collegamento tra logica e insiemi è che l'implicazione è il connettivo logico che definisce un sottoinsieme; quindi, valendo solo $[(a=c) \wedge (b=d)]\implies [ae^b=ce^d]$, ragionando come hai fatto trovi solamente un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni (e, infatti, osservi correttamente che: "Non si annulla affatto solo in quei due punti").
Sono appena arrivato a chiarirmi.
Ovviamente ogni volta che un termine è uguale al reciproco dell'altro si verifica che il loro prodotto è uguale a uno, ovvero $e^0$.
Sono molto molto arrugginito, di nuovo!
Grazie @Mephlip per la approfondita e puntuale risposta, siete sempre molto disponibili.
Ovviamente ogni volta che un termine è uguale al reciproco dell'altro si verifica che il loro prodotto è uguale a uno, ovvero $e^0$.
Sono molto molto arrugginito, di nuovo!
Grazie @Mephlip per la approfondita e puntuale risposta, siete sempre molto disponibili.
@lackyluk
Sorry, ma per colpa di alcuni troll ho deciso di cancellare alcuni miei post.
Sorry, ma per colpa di alcuni troll ho deciso di cancellare alcuni miei post.
Beh si direi che appunto, ricavando dalla seconda e sostituendo nella prima sembra tutto molto lineare.
Da li poi direi che è tutto abbastanza standard.
Volendo invece insistere nel ricavare dalla prima per sostituire nella seconda:
$ e^(xy-y)=1/(1+xy) => e^(xy-y)=(1+xy)^-1 => e^(xy-y)= e^(ln(1+xy)^-1) $
Da cui
$ y= -ln(1+xy)^-1/(xy) $, da sostituire nella seconda!!!
Quindi, è corretto dire che il modo giusto di procedere è appunto ricavare dalla seconda per sostituire nella prima semplicemente perchè ci si dovrebbe rendere velocemente conto che fare il contrario è marcatamente ed evidentemente più complicato a livello di calcoli?
Da li poi direi che è tutto abbastanza standard.
Volendo invece insistere nel ricavare dalla prima per sostituire nella seconda:
$ e^(xy-y)=1/(1+xy) => e^(xy-y)=(1+xy)^-1 => e^(xy-y)= e^(ln(1+xy)^-1) $
Da cui
$ y= -ln(1+xy)^-1/(xy) $, da sostituire nella seconda!!!
Quindi, è corretto dire che il modo giusto di procedere è appunto ricavare dalla seconda per sostituire nella prima semplicemente perchè ci si dovrebbe rendere velocemente conto che fare il contrario è marcatamente ed evidentemente più complicato a livello di calcoli?
Mi dispiace aver dovuto cancellare (non per tua colpa) la soluzione, spero che tu l'abbia salvata.
Per darti delle dritte, che valgono in generale, quello che devi sempre fare è "partire dall'inizio", cioè dagli assiomi e dalle definizioni. Sembra paradossale dire partire dall'inizio, ma è così per ogni tipo ragionamento che facciamo (dove ci sono sempre premesse implicite, ovvero presupposti, e premesse esplicitate). Senza assiomi, o premesse, non potremmo rilevare eventuali contraddizioni nella teoria o più in generale all'interno di un discorso. E una contraddizione, cioè essere e non essere ad un tempo, non porta ad alcuna conclusione.
In matematica è dagli assiomi che si costruisce l'intera teoria. Un assioma va preso così com'è, come verità indiscutibile, non sempre evidente come suggerisce il suo etimo, ma ha comunque una sua ragione per essere.
Il tuo modo di operare è, a mio avviso, una "copia" di quello che hai appreso nei sistemi di equazioni lineari, che poi con qualche accorgimento hai trasferito con successo ai sistemi polinomiali non lineari. Infatti espliciti una variabile e poi sostituisci nelle altre scalando così sul numero di incognite che però non sempre portano ad una semplificazione dell'intero sistema di equazioni da studiare. Ciò è più evidente quando sono presenti delle funzioni trascendenti.
In generale non esiste una tecnica che consente di trovare le soluzioni per un qualsiasi sistema di equazioni assegnato. Ne esistono diverse per i sistemi lineari, ma per quelli non lineari no. L'obiettivo di ogni tecnica resta comunque quello di semplificare il sistema per poter leggere direttamente quali valori assegnare alle variabili per soddisfare tutte le condizioni imposte. Per condizioni intendo le equazioni. Nei sistemi non lineari spesso è conveniente guardare ogni singola equazione e le proprietà delle funzioni coinvolte in relazione alle operazioni in gioco. Se hai salvato la soluzione postata, noterai che ho sfruttato sia la proprietà delle funzioni esponenziali di non essere mai nulle, sia la proprietà di annullamento del prodotto (ecco, questa dell'annullamento del prodotto è una proprietà che torna spesso utile).
to sum up ... se posso permettermi un consiglio, ogni volta che puoi analizza le soluzioni che il prof mette nei suoi esercizi e fanne un'analisi in modo schematico (ad esempio sottoforma di elenco), senza esagerare troppo con le formule o il simbolismo, ma usando per quanto è possibile un linguaggio discorsivo. Secondo me aiuterà moltissimo.
Per darti delle dritte, che valgono in generale, quello che devi sempre fare è "partire dall'inizio", cioè dagli assiomi e dalle definizioni. Sembra paradossale dire partire dall'inizio, ma è così per ogni tipo ragionamento che facciamo (dove ci sono sempre premesse implicite, ovvero presupposti, e premesse esplicitate). Senza assiomi, o premesse, non potremmo rilevare eventuali contraddizioni nella teoria o più in generale all'interno di un discorso. E una contraddizione, cioè essere e non essere ad un tempo, non porta ad alcuna conclusione.
In matematica è dagli assiomi che si costruisce l'intera teoria. Un assioma va preso così com'è, come verità indiscutibile, non sempre evidente come suggerisce il suo etimo, ma ha comunque una sua ragione per essere.
Il tuo modo di operare è, a mio avviso, una "copia" di quello che hai appreso nei sistemi di equazioni lineari, che poi con qualche accorgimento hai trasferito con successo ai sistemi polinomiali non lineari. Infatti espliciti una variabile e poi sostituisci nelle altre scalando così sul numero di incognite che però non sempre portano ad una semplificazione dell'intero sistema di equazioni da studiare. Ciò è più evidente quando sono presenti delle funzioni trascendenti.
In generale non esiste una tecnica che consente di trovare le soluzioni per un qualsiasi sistema di equazioni assegnato. Ne esistono diverse per i sistemi lineari, ma per quelli non lineari no. L'obiettivo di ogni tecnica resta comunque quello di semplificare il sistema per poter leggere direttamente quali valori assegnare alle variabili per soddisfare tutte le condizioni imposte. Per condizioni intendo le equazioni. Nei sistemi non lineari spesso è conveniente guardare ogni singola equazione e le proprietà delle funzioni coinvolte in relazione alle operazioni in gioco. Se hai salvato la soluzione postata, noterai che ho sfruttato sia la proprietà delle funzioni esponenziali di non essere mai nulle, sia la proprietà di annullamento del prodotto (ecco, questa dell'annullamento del prodotto è una proprietà che torna spesso utile).
to sum up ... se posso permettermi un consiglio, ogni volta che puoi analizza le soluzioni che il prof mette nei suoi esercizi e fanne un'analisi in modo schematico (ad esempio sottoforma di elenco), senza esagerare troppo con le formule o il simbolismo, ma usando per quanto è possibile un linguaggio discorsivo. Secondo me aiuterà moltissimo.
"the gypsy":
Mi dispiace aver dovuto cancellare (non per tua colpa) la soluzione, spero che tu l'abbia salvata.
No, purtroppo non ho visionato tue ulteriori risposte, sto avendo modo di riaccadere al forum solo ora.
In ogni caso in effetti non ero in cerca della soluzione all'esercizio per intero, ma solo di chiarimenti su questo passaggio iniziale che mi ha messo in difficoltà.
Come spiegato da @Mephlip, mi era sfuggito l'ovvia circostanza che quella prima equazione si annullasse anche per infiniti altri valori oltre quei primi da me individuati, ovvero avevo appunto trovato solo un molto ristretto sottoinsieme delle soluzioni.
Questo lo avevo graficamente intuito da un analisi su GeoGebra, che mi mostrava una retta (intesa come spazio delle soluzioni) ulteriore, di cui non capivo la natura.
Inoltre, dato che il docente mi dava come modo di procedere appunto quello di sostituire dalla seconda nella prima, senza ulteriori specificazioni, allora mi sono chiesto se questo fosse dovuto al fatto che lei immediatamente, semplicemente guardando le due equazioni, intuisse dall'esperienza che era più "comodo" procedere dalla seconda sulla prima che non viceversa.
Ti ringrazio comunque per gli ulteriori spunti di riflessione @the gypsy
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