Massimo e minimo assoluti in due variabili
la funzione è $f(x,y)=x^2y+xy^2-xy$ ristetta in un triangolo di vertici (0,0) (1,0) (0,1)
allora per prima cosa mi trovo i punti critici ponendo $nablaf=0$poi tramite la matrice hessiana determini i massimi e minimi ma facendo questo chi mi dice che quei punti sono interni al mio triangolo ??
per studiare invece i possibili punti di massimo e minimo su la frontiera come dovrei fare ??
allora per prima cosa mi trovo i punti critici ponendo $nablaf=0$poi tramite la matrice hessiana determini i massimi e minimi ma facendo questo chi mi dice che quei punti sono interni al mio triangolo ??
per studiare invece i possibili punti di massimo e minimo su la frontiera come dovrei fare ??
Risposte
La maniera generale di procedere sarebbe quella di parametrizzare la frontiera e e poi studiare f(x,y) ristretta alla curva.
Per esempio per il segmento che unisce (1,0) et (0,1) si potrebbe prendere la curva parametrizzata $ Gamma $:
$ { ( x(t)=t " "0<=t<=1),( y(t)=-t+1 ):} $
poi restringere f su questa curva:
$ f| _Gamma =t^2(-t+1)+t(-t+1)^2-t(-t+1) $
e studiare questa come una funzione in una variabile, t.
Similmente per gli altri due lati del triangolo.
Nel caso particolare della funzione da te proposta pero' si puo' evitare questo laborioso procedimento.
$ f(x,y)= x^2y+xy^2-xy=xy(x+y-1) $
Quindi $ f(x,y)<0 $ nel triangolo in questione essendo $ x+y-1<0 $ poiche' il triangolo e' "sotto" la retta $ y=-x+1 $ che tra l'altro e' proprio il lato del triangolo del dominio. Poiche' su tutti i lati del triangolo $ f(x,y)=0 $ e $ f(x,y)<0 $ dentro segue che i punti della frontiera sono tutti massimi non stretti.
Per esempio per il segmento che unisce (1,0) et (0,1) si potrebbe prendere la curva parametrizzata $ Gamma $:
$ { ( x(t)=t " "0<=t<=1),( y(t)=-t+1 ):} $
poi restringere f su questa curva:
$ f| _Gamma =t^2(-t+1)+t(-t+1)^2-t(-t+1) $
e studiare questa come una funzione in una variabile, t.
Similmente per gli altri due lati del triangolo.
Nel caso particolare della funzione da te proposta pero' si puo' evitare questo laborioso procedimento.
$ f(x,y)= x^2y+xy^2-xy=xy(x+y-1) $
Quindi $ f(x,y)<0 $ nel triangolo in questione essendo $ x+y-1<0 $ poiche' il triangolo e' "sotto" la retta $ y=-x+1 $ che tra l'altro e' proprio il lato del triangolo del dominio. Poiche' su tutti i lati del triangolo $ f(x,y)=0 $ e $ f(x,y)<0 $ dentro segue che i punti della frontiera sono tutti massimi non stretti.
senti scusami se ti rispondo ora... cmq avendo trovati i punti critici che sono 4 P1=(0,0) p2(0,1) p3(1,0) e p4(1/3,1/3) per i primi 3 non posso studiare la derivata seconda con hessiana vero?? essendo i punti di frontiera e percio non interni invece per il punto p4 invece essendo interno all insieme di definizione mi esce che è un minimo giusto ??invece per i punti di frontiera faccia la restrinzione alle curve y=0 x=0 e poi y=1-x ma tutte e 3 le restrinzioni mi escono zero percio come faccio a dire che sono dei punti di massimo ??
$ P_4=(1/3,1/3) $ e' effettivamente un minimo.
Per i punti di frontiera: $ f(x,y)=xy(x+y-1) $ . Il primo fattore di tale espressione e' positivo poiche' il trinagolo dato e' nel primo quadrante del piano cartesiano. Il secondo fattore e' negativo poiche' $ (x+y-1)=0 $ e' proprio la retta che passa per i due vertici del triangolo $ (1,0)" et "(0,1) $ e il triangolo sta "sotto" questa retta. Quindi $ f(x,y)<0 $ nei punti all'interno del triangolo.
Se all'interno del triangolo $ f(x,y)<0 $ allora i punti di frontiera sui quali $ f(x,y)=0 $ sono punti di massimo per definizione. Non sono massimi stretti (segno minore stretto) perche' preso un intorno di uno dei punti di frontiera $ (x_0,y_0) $ in un qualsiasi suo intorno $ U(x_0,y_0) $ cadono anche altri punti di frontiera per cui $ f(x,y)<=f(x_0,y_0) $ per $ AA (x,y)in U(x_0,y_0) $.
Per i punti di frontiera: $ f(x,y)=xy(x+y-1) $ . Il primo fattore di tale espressione e' positivo poiche' il trinagolo dato e' nel primo quadrante del piano cartesiano. Il secondo fattore e' negativo poiche' $ (x+y-1)=0 $ e' proprio la retta che passa per i due vertici del triangolo $ (1,0)" et "(0,1) $ e il triangolo sta "sotto" questa retta. Quindi $ f(x,y)<0 $ nei punti all'interno del triangolo.
Se all'interno del triangolo $ f(x,y)<0 $ allora i punti di frontiera sui quali $ f(x,y)=0 $ sono punti di massimo per definizione. Non sono massimi stretti (segno minore stretto) perche' preso un intorno di uno dei punti di frontiera $ (x_0,y_0) $ in un qualsiasi suo intorno $ U(x_0,y_0) $ cadono anche altri punti di frontiera per cui $ f(x,y)<=f(x_0,y_0) $ per $ AA (x,y)in U(x_0,y_0) $.
scusami ma non mi è chiaro...cioè quello che dici tu è giusto infatti stai studiando il segno della funzione a occhio ma in linea generale per vedere se è un massimo e un minimo nel caso unidimensionale dovrei studiare il segno della derivata prima ma essendo la funzione nulla su quelle rette dovrei vedere che valori ha la funzione all interno del triangolo e fuori dal triangolo cosi capisco che cosa succede su la frontiera giusto ??poi essendo tutti i punti di frontiera uguale a zero posso dire che tutti quei punti sono massimi assoluti ???
Nel caso di una funzione in una variabile posso usare altri metodi rispetto allo studio della derivata per concludere che un punto e' di massimo o di minimo. Per esempio se $ f(x)=(x-1)^2 $ posso concludere che $ x=1 $ e' un minimo stretto per definizione [esiste un intorno di $ x=1 $ in cui $ f(1)0 $ per $ x!=1 $ [il teorema generale dell'algebra dei polinomi garantisce che $ x=1 $ e' l'unico punto dove la funzione si annulla e le proprieta' di $ mathbb(R) $ garantiscono $ a^2>=0 $ ]. Caso con qualche somiglianza con la funzione proposta... 
In generale nella ricerca di massimi e minimi sul bordo di un dominio di una funzione in due variabili si parametrizza il bordo del dominio, poi si studia la derivata della funzione unidimensionale che si ottiene ma non e' detto che i punti che risultano di massimo e minimo per quella funzione unidimensionale siano effettivamente di massimo e minimo per la funzione in due variabili: per dimostrarlo o negarlo si usera' per esempio uno studio sul segno oppure maggiorazioni-minorazioni per verificare la definizione di massimo o minimo.
Nel caso della funzione proposta si puo' evitare la parte della parametrizzazione e dello studio della derivata in quanto lo studio sul segno di solito precedente allo studio delle derivate e' illuminante. I punti del bordo sono massimi assoluti in quanto $ f(x,y) $ si annulla solo sul bordo ed ha valori negativi all'interno del dominio.
Tra l'altro per il teorema di Weiestrass il massimo e il minimo devono esistere.
In generale nella ricerca di massimi e minimi sul bordo di un dominio di una funzione in due variabili si parametrizza il bordo del dominio, poi si studia la derivata della funzione unidimensionale che si ottiene ma non e' detto che i punti che risultano di massimo e minimo per quella funzione unidimensionale siano effettivamente di massimo e minimo per la funzione in due variabili: per dimostrarlo o negarlo si usera' per esempio uno studio sul segno oppure maggiorazioni-minorazioni per verificare la definizione di massimo o minimo.
Nel caso della funzione proposta si puo' evitare la parte della parametrizzazione e dello studio della derivata in quanto lo studio sul segno di solito precedente allo studio delle derivate e' illuminante. I punti del bordo sono massimi assoluti in quanto $ f(x,y) $ si annulla solo sul bordo ed ha valori negativi all'interno del dominio.
Tra l'altro per il teorema di Weiestrass il massimo e il minimo devono esistere.
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