Massimo e minimi vincolati
Salve, propongo questo esercizio (vorrei più che altro sapere se sta fatto bene), ma prendo spunto da questo per chiedere se potreste elencarmi le esatte condizioni per le quali può essere applicato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Calcolare massimo e minimo di $f(x,y) = x + y -sqrt(6)z$ sulla superficie sferica di raggio 1 e centro 0.
Il vincolo ha equazione $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Poiché compatto e la funzione continua, è Weiestrass ad assicurarmi l'esistenza di massimo e minimo assoluto per la funzione sul vincolo.
Scrivo l'equazione $L = x + y - sqrt(6)z - lambda(x^2 + y^2 + z^2 -1)$ e scrivo il sistema, ovvero impongo le varie derivate parziali a 0.
Dal sistema escono 2 punti:
$A=(sqrt(2)/4, sqrt(2)/4, -sqrt(3)/2)$
$B=(-sqrt(2)/4, -sqrt(2)/4, sqrt(3)/2)$
Pertanto il $max = 2sqrt(2)$ che si ha nel punto $A$ e il minimo $min = -2sqrt(2)$ per il punto $B$.
Sta bene?
Potreste poi elencarmi le condizioni del metodo dei moltiplicatori di Lagrange? Quali ipotesi bisogna che siano soddisfatte purché lo si possa applicare?
Grazie
Calcolare massimo e minimo di $f(x,y) = x + y -sqrt(6)z$ sulla superficie sferica di raggio 1 e centro 0.
Il vincolo ha equazione $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Poiché compatto e la funzione continua, è Weiestrass ad assicurarmi l'esistenza di massimo e minimo assoluto per la funzione sul vincolo.
Scrivo l'equazione $L = x + y - sqrt(6)z - lambda(x^2 + y^2 + z^2 -1)$ e scrivo il sistema, ovvero impongo le varie derivate parziali a 0.
Dal sistema escono 2 punti:
$A=(sqrt(2)/4, sqrt(2)/4, -sqrt(3)/2)$
$B=(-sqrt(2)/4, -sqrt(2)/4, sqrt(3)/2)$
Pertanto il $max = 2sqrt(2)$ che si ha nel punto $A$ e il minimo $min = -2sqrt(2)$ per il punto $B$.
Sta bene?
Potreste poi elencarmi le condizioni del metodo dei moltiplicatori di Lagrange? Quali ipotesi bisogna che siano soddisfatte purché lo si possa applicare?
Grazie
Risposte
Poichè le superfici di livello sono piani paralleli, puoi procedere intersecando la sfera con la retta passante per l'origine perpendicolare ai piani:
Infatti, i massimi e i minimi vincolati sono i punti in cui la sfera è tangente ai piani.
Passo 1
$[(x-0)/1=(y-0)/1=(z-0)/-sqrt6] rarr [x-y=0] ^^ [sqrt6x+z=0]$
Passo 2
$\{(x-y=0),(sqrt6x+z=0),(x^2+y^2+z^2=1):} rarr \{(y=x),(z=-sqrt6x),(8x^2=1):} rarr \{(x=sqrt2/4),(y=sqrt2/4),(z=-sqrt3/2):} vv \{(x=-sqrt2/4),(y=-sqrt2/4),(z=sqrt3/2):}$
Infatti, i massimi e i minimi vincolati sono i punti in cui la sfera è tangente ai piani.
TI ringrazio.
Riusciresti però a elencarmi le ipotesi del metodo dei moltiplicatori di Lagrange?
Riusciresti però a elencarmi le ipotesi del metodo dei moltiplicatori di Lagrange?
Ti conviene ricordarti la dimostrazione, è molto facile. Se \(x_0\) è un punto estremale per il problema
\[
\max \{ F(x)\ :\ G(x)=0\}, \]
allora prendendo una curva \(\gamma\) che passa per \(x_0\) all'istante \(t=0\), ed è contenuta nel vincolo \(G(x)=0\), si ha che \(t\to F(\gamma(t))\) è una funzione di una variabile che ha un punto critico per \(t=0\). Questo significa che
\[\tag{1}
\left.\frac{d}{dt} F(\gamma(t))\right|_{t=0}=\nabla F(x_0)\cdot \dot{\gamma}(0)=0, \]
mentre il fatto che \(G(\gamma(t))=0\) implica che
\[
\tag{2}
\nabla G(x_0)\cdot \dot{\gamma}(0)=0.
\]
Da qui, per l'arbitrarietà di \(\gamma\) segue che \(\nabla F(x_0)\) deve essere parallelo a \(\nabla G(x_0)\). Che ipotesi abbiamo usato?
Intanto ci vuole la regolarità minima per calcolare \(\nabla F, \nabla G\): F e G devono essere differenziabili. Inoltre, la condizione (2) perde completamente di significato se \(\nabla G(x_0)=0\), quindi dobbiamo richiedere che \(\nabla G(x)\ne 0\) per ogni \(x\) nell'insieme \(\{G(x)=0\}\). È tutto.
\[
\max \{ F(x)\ :\ G(x)=0\}, \]
allora prendendo una curva \(\gamma\) che passa per \(x_0\) all'istante \(t=0\), ed è contenuta nel vincolo \(G(x)=0\), si ha che \(t\to F(\gamma(t))\) è una funzione di una variabile che ha un punto critico per \(t=0\). Questo significa che
\[\tag{1}
\left.\frac{d}{dt} F(\gamma(t))\right|_{t=0}=\nabla F(x_0)\cdot \dot{\gamma}(0)=0, \]
mentre il fatto che \(G(\gamma(t))=0\) implica che
\[
\tag{2}
\nabla G(x_0)\cdot \dot{\gamma}(0)=0.
\]
Da qui, per l'arbitrarietà di \(\gamma\) segue che \(\nabla F(x_0)\) deve essere parallelo a \(\nabla G(x_0)\). Che ipotesi abbiamo usato?
Intanto ci vuole la regolarità minima per calcolare \(\nabla F, \nabla G\): F e G devono essere differenziabili. Inoltre, la condizione (2) perde completamente di significato se \(\nabla G(x_0)=0\), quindi dobbiamo richiedere che \(\nabla G(x)\ne 0\) per ogni \(x\) nell'insieme \(\{G(x)=0\}\). È tutto.
Grazie
Prego. Chiaramente la stessa cosa vale per minimizzare \(F\), invece che per massimizzarla. E nella pratica i punti in cui \(G\) non è differenziabile, oppure in cui \(\nabla G\) si annulla vanno trattati come punti singolari, da studiare a parte.
Continuo solo per rendermi conto se ho capito.
Allora considero il seguente esempio con non molti calcoli:
$f(x,y) = xy$ sul vincolo $G(x) : x^2 + y^2 - 1 = 0$.
Si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange poichè
1. sia $f(x,y)$ sia la funzione vincolo sono differenziabili, ovvero non ho problemi nel calcolare i loro gradienti.
2. Osservo che $nabla(G(x)) = (2x,2y)$ si annulla soltanto nel punto $(0,0)$, che non è un punto per il quale la funzione $G(x)$ si annulla.
Giustificato questo, applico Lagrange e trovo che risulta $Max1 = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, $Max2 = (-sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2)$ e $min1 = (sqrt(2)/2, - sqrt(2)/2)$ e $min2 = (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$.
Andrebbe bene così?
Allora considero il seguente esempio con non molti calcoli:
$f(x,y) = xy$ sul vincolo $G(x) : x^2 + y^2 - 1 = 0$.
Si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange poichè
1. sia $f(x,y)$ sia la funzione vincolo sono differenziabili, ovvero non ho problemi nel calcolare i loro gradienti.
2. Osservo che $nabla(G(x)) = (2x,2y)$ si annulla soltanto nel punto $(0,0)$, che non è un punto per il quale la funzione $G(x)$ si annulla.
Giustificato questo, applico Lagrange e trovo che risulta $Max1 = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, $Max2 = (-sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2)$ e $min1 = (sqrt(2)/2, - sqrt(2)/2)$ e $min2 = (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$.
Andrebbe bene così?
Fai bene a fare esempi giocattolo. Non mi piace solo la notazione, max1 max2... non si capisce bene cosa tu voglia dire, comunque il concetto è corretto.
Un appunto: "non ho problemi a calcolare i gradienti" significa, letteralmente, che la funzione è derivabile parzialmente rispetto a \(x\) e \(y\). Non basta: noi vogliamo che la funzione sia differenziabile; a voler essere pignoli, sarebbe sufficiente la derivabilità direzionale lungo tutte le direzioni.
In questo caso sia \(F\) sia \(G\) sono differenziabili.
Un appunto: "non ho problemi a calcolare i gradienti" significa, letteralmente, che la funzione è derivabile parzialmente rispetto a \(x\) e \(y\). Non basta: noi vogliamo che la funzione sia differenziabile; a voler essere pignoli, sarebbe sufficiente la derivabilità direzionale lungo tutte le direzioni.
In questo caso sia \(F\) sia \(G\) sono differenziabili.
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