Massimo e minimi assoluti
ciao, sto avendo difficoltà con un esercizio:
data la funzione $f(x,y)=x^2+5x+y^2$
calcolare il massimo e il minimo assoluti di f nella regione
$ x^2+y^2<=25]$
posso usare la tecnica dei moltiplicatori di lagrange ?
poi sugli appunti del mio prof di analisi ho letto che se l'hessiano è nullo bisogna fare uno studio sommario di una funzione per determinare il max o min relativo e che non posso usare la tecnica degli autovalori .
Che significa? grazie a tutti
data la funzione $f(x,y)=x^2+5x+y^2$
calcolare il massimo e il minimo assoluti di f nella regione
$ x^2+y^2<=25]$
posso usare la tecnica dei moltiplicatori di lagrange ?
poi sugli appunti del mio prof di analisi ho letto che se l'hessiano è nullo bisogna fare uno studio sommario di una funzione per determinare il max o min relativo e che non posso usare la tecnica degli autovalori .
Che significa? grazie a tutti
Risposte
Questo è un problema di ottimizzazione vincolata quindi non puoi usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange , o meglio , non lo puoi usare perchè la regione interessata non è luogo di zeri di una funzioni.
Dovresti dividere la regione considerando l'interno $x^2 +y^2 <25$ e nel suo bordo $x^2 +y^2 =25$. Per l'interno essendo un insieme aperto puoi utilizzare semplicemente il teorema di Fermat , trovi il gradiente lo annulli e calcoli l'Hessiana nel punto/punti critici ; nel caos del bordo ti sei ricondotto ad avere un luogo di zeri di una funzione e queindi puoi usare o i moltiplicatori di Lagrange o puoi cercare una parametrizzazione.
Per l'altra domanda , il tuo professore intendeva che nel caso tu abbia un determinante dell'hessiana nullo , ossia una forma quadratica indefinita ti devi calcolare l'incremento $f(x,y)-f(x_0 , y_0)$ dove $f(x_0 , y_0)$ è la funzione calcolata nel punto critico. In quel caso devi studiare l'incremento e magari riuscire a dimostrare che il punto critico è di sella , magari.
Spero di non aver scritto stronzate perchè sono cose che sto studiando anche io adesso !
Dovresti dividere la regione considerando l'interno $x^2 +y^2 <25$ e nel suo bordo $x^2 +y^2 =25$. Per l'interno essendo un insieme aperto puoi utilizzare semplicemente il teorema di Fermat , trovi il gradiente lo annulli e calcoli l'Hessiana nel punto/punti critici ; nel caos del bordo ti sei ricondotto ad avere un luogo di zeri di una funzione e queindi puoi usare o i moltiplicatori di Lagrange o puoi cercare una parametrizzazione.
Per l'altra domanda , il tuo professore intendeva che nel caso tu abbia un determinante dell'hessiana nullo , ossia una forma quadratica indefinita ti devi calcolare l'incremento $f(x,y)-f(x_0 , y_0)$ dove $f(x_0 , y_0)$ è la funzione calcolata nel punto critico. In quel caso devi studiare l'incremento e magari riuscire a dimostrare che il punto critico è di sella , magari.
Spero di non aver scritto stronzate perchè sono cose che sto studiando anche io adesso !
grazie mille
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