Massimo di una funzione integrale
Salve, avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Sia \(f \in L^1(\mathbb{R}^n)\) con \(f\geq 0\) e, fissato \(r>0\), sia \(F\) definita su \(\mathbb{R}^n\) ponendo:
\(F(x) = \int_{B_r(x)} f(y) dy\)
Dimostrare che \( F \) è continua e ammette massimo.
Con la continuità ci sono, per quanto riguarda il fatto di ammettere massimo pensavo di usare Weierstrass su un compatto e sfruttare il fatto (che mi sembra di intuire) che \(F\) tenda a zero per norma di \(x\) che va all'infinito, ma ho problemi a dimostrare proprio questo fatto (sempre che sia vero!!)
Sia \(f \in L^1(\mathbb{R}^n)\) con \(f\geq 0\) e, fissato \(r>0\), sia \(F\) definita su \(\mathbb{R}^n\) ponendo:
\(F(x) = \int_{B_r(x)} f(y) dy\)
Dimostrare che \( F \) è continua e ammette massimo.
Con la continuità ci sono, per quanto riguarda il fatto di ammettere massimo pensavo di usare Weierstrass su un compatto e sfruttare il fatto (che mi sembra di intuire) che \(F\) tenda a zero per norma di \(x\) che va all'infinito, ma ho problemi a dimostrare proprio questo fatto (sempre che sia vero!!)
Risposte
Per dimostrare che \(\lim_{|x|\to \infty} F(x)=0\) (uniformemente rispetto a \(|x|\), tra l'altro!) basta tenere presente che, essendo \(f\in L^1 (\mathbb{R}^N)\), per ogni fissato \(\varepsilon >0\) "piccolo" esiste un \(R>0\) "grande" tale che:
\[
\int_{\mathbb{R}^N\setminus B_R(o)} f(y)\ \text{d} y <\varepsilon \; :
\]
infatti se \(|x|>R+r\) allora si ha \(B_r(x)\subseteq \mathbb{R}^N\setminus B_R(o)\) e la disuguaglianza \(F(x)<\varepsilon\) segue maggiorando in maniera semplice.
\[
\int_{\mathbb{R}^N\setminus B_R(o)} f(y)\ \text{d} y <\varepsilon \; :
\]
infatti se \(|x|>R+r\) allora si ha \(B_r(x)\subseteq \mathbb{R}^N\setminus B_R(o)\) e la disuguaglianza \(F(x)<\varepsilon\) segue maggiorando in maniera semplice.
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