Massimo di funz. in + variabili
se una funzione in più variabili ammette max in un punto appartenente in un dominio aperto allora la somma dei termini della diagonale dell'hessiano calcolato in quel punto deve essere minore di zero? perchè?
Risposte
si presuppone che l'hessiano sia una matrice simmetrica.
puoi trovare qualcosa qua, se non hai già guardato http://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e_ ... a_funzione
La somma dei termini della diagonale della matrice Hessiana è la sua traccia e coincide con la somma degli autovalori.
Ora se una funzione differenziabile due volte (alcuni autori tagliano la testa al toro e richiedono direttamente che sia di classe $C^2$ per evitare rotture) ha in un punto $x$ un massimo, la matrice Hessiana calcolata in quel punto deve necessariamente essere definita negativa.
E questo si può vedere in varie maniere, magari con la formula di Taylor, oppure così:
per ogni vettore di direzione $v!=0$ sia $gamma_v(t)$ la funzione $t\mapstox+tv$, per $t\in(-rho, rho)$ intervallo sufficientemente piccolo perché $gamma_v(t)$ non esca dal dominio di $f$. Possiamo allora comporre $F_v(t)=fcircgamma_v(t)$: questa è una funzione di una variabile, derivabile due volte, che ha un massimo per $t=0$. Allora la derivata seconda di $F_v$ è negativa per $t=0$ (teorema di analisi 1. Intuitivamente: se una funzione ha un massimo, in un intorno deve essere concava).
Calcoliamo la derivata seconda di $F_v(t)$ per $t=0$: salterà fuori essere proprio $v^TH_{f} (x)v$. Quindi la forma quadratica $v^TH_{f} (x)v$ è minore o uguale a 0 per ogni $v!=0$, ovvero la matrice $H_{f} (x)$ è definita negativa.
Per concludere ci ricordiamo un teorema di algebra lineare, secondo cui una matrice simmetrica è definita negativa se e solo se tutti i propri autovalori sono negativi. E quindi anche la somma degli autovalori, i.e. la traccia della matrice, i.e. la somma degli elementi della diagonale principale, è negativa.
Ora se una funzione differenziabile due volte (alcuni autori tagliano la testa al toro e richiedono direttamente che sia di classe $C^2$ per evitare rotture) ha in un punto $x$ un massimo, la matrice Hessiana calcolata in quel punto deve necessariamente essere definita negativa.
E questo si può vedere in varie maniere, magari con la formula di Taylor, oppure così:
per ogni vettore di direzione $v!=0$ sia $gamma_v(t)$ la funzione $t\mapstox+tv$, per $t\in(-rho, rho)$ intervallo sufficientemente piccolo perché $gamma_v(t)$ non esca dal dominio di $f$. Possiamo allora comporre $F_v(t)=fcircgamma_v(t)$: questa è una funzione di una variabile, derivabile due volte, che ha un massimo per $t=0$. Allora la derivata seconda di $F_v$ è negativa per $t=0$ (teorema di analisi 1. Intuitivamente: se una funzione ha un massimo, in un intorno deve essere concava).
Calcoliamo la derivata seconda di $F_v(t)$ per $t=0$: salterà fuori essere proprio $v^TH_{f} (x)v$. Quindi la forma quadratica $v^TH_{f} (x)v$ è minore o uguale a 0 per ogni $v!=0$, ovvero la matrice $H_{f} (x)$ è definita negativa.
Per concludere ci ricordiamo un teorema di algebra lineare, secondo cui una matrice simmetrica è definita negativa se e solo se tutti i propri autovalori sono negativi. E quindi anche la somma degli autovalori, i.e. la traccia della matrice, i.e. la somma degli elementi della diagonale principale, è negativa.
ok molto esauriente, grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo