Massimizzazione/minimizzazione vincolata in 2 variabili
Ho un cruccio che spero che qualcuno possa togliermi, oggi ho fatto un esame di matematica e avevo tra gli esercizi il seguente:
trovare massimo e minimo ASSOLUTO della funzione $f(x,y) = x*y*(x+y-1)$ sul dominio dato dal triangolo OAB con O (0,0), A (1,0) e B (0,1).. il che significa che i lati sono (x,0), (0,y) e y=1-x
Questo triangolo è un intervallo chiuso e limitato, e quindi compatto, e quindi dovrebbe valere il teorema di Weierstrass, PERO':
una volta disegnato il dominio ho constatato che su tutta la frontiera la funzione andava a 0 e che la funzione è diversa da zero solo per x+y < 1.. ma prendendo una coppia x,y la cui somma è molto vicina ad 1 (es: x=0,5 y=0,4999999999999999999999 (con nove infiniti per intenderci) ed inserendola nella funzione, la funzione tende a meno infinito.. il che non dovrebbe essere possibile e fa a pugni col teorema di Weierstrass, ma la prova empirica c'è.. oltretutto, calcolando le derivate prime e mettendole a sistema una delle soluzioni era (1/3, 1/3) ma f(1/3,1/3) > f(0,5 , 0,499999999) e quindi non è minimo assoluto!
E' quasi certo che ci sia un buco nel ragionamento, se qualcuno me lo potesse indicare sarei grato
trovare massimo e minimo ASSOLUTO della funzione $f(x,y) = x*y*(x+y-1)$ sul dominio dato dal triangolo OAB con O (0,0), A (1,0) e B (0,1).. il che significa che i lati sono (x,0), (0,y) e y=1-x
Questo triangolo è un intervallo chiuso e limitato, e quindi compatto, e quindi dovrebbe valere il teorema di Weierstrass, PERO':
una volta disegnato il dominio ho constatato che su tutta la frontiera la funzione andava a 0 e che la funzione è diversa da zero solo per x+y < 1.. ma prendendo una coppia x,y la cui somma è molto vicina ad 1 (es: x=0,5 y=0,4999999999999999999999 (con nove infiniti per intenderci) ed inserendola nella funzione, la funzione tende a meno infinito.. il che non dovrebbe essere possibile e fa a pugni col teorema di Weierstrass, ma la prova empirica c'è.. oltretutto, calcolando le derivate prime e mettendole a sistema una delle soluzioni era (1/3, 1/3) ma f(1/3,1/3) > f(0,5 , 0,499999999) e quindi non è minimo assoluto!
E' quasi certo che ci sia un buco nel ragionamento, se qualcuno me lo potesse indicare sarei grato
Risposte
"gclark":Togli "intervallo", sostituisci con "insieme"; e togli "dovrebbe", sostituisci con "deve".
Questo triangolo è un intervallo chiuso e limitato, e quindi compatto, e quindi dovrebbe valere il teorema di Weierstrass
la funzione tende a meno infinito..Ma no, chissà che cosa hai calcolato.
P.S.: Benvenuto nel forum!
grazie del benvenuto e della risposta
quanto al calcolo che ho fatto, prendendo ad esempio la coppia di valori che ho proposto, (0.5 , 0.49999), ed inserendola nella funzione, il valore di f è negativo e decresce sempre più.. no?
$0.5*0.49999*(0.5+0.49999-1) = 0.5*0.49999*(-0.00001) = -0.00000249995 $
che è senz'altro minore di $1/3*1/3*(-1/3)$
quanto al calcolo che ho fatto, prendendo ad esempio la coppia di valori che ho proposto, (0.5 , 0.49999), ed inserendola nella funzione, il valore di f è negativo e decresce sempre più.. no?
$0.5*0.49999*(0.5+0.49999-1) = 0.5*0.49999*(-0.00001) = -0.00000249995 $
che è senz'altro minore di $1/3*1/3*(-1/3)$
ok sono un idiota, mi sono appena reso conto dell'errore che definire grossolano è poco, e mi rassegno al pubblico ludibrio 
spero di poter fare post più intelligenti in futuro
spero di poter fare post più intelligenti in futuro
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