Massimizzazione rapporto
Salve, sto cercando un modo per massimizzare questo rapporto:
$ \frac{\sum_{k=0}^\infty a_k}{\sqrt{\sum_{k=0}^\infty a_k^2}} $
ovvero devo scegliere i coefficienti $a_k$ per avere il risultato maggiore possibile, qualcuno potrebbe darmi una dritta su come fare ?
ho provato ad usare $a_k=r^k$ ottenendo $\sqrt{\frac{2}{1-r}}$ per 1-r << 1. Si può fare di meglio ?
$ \frac{\sum_{k=0}^\infty a_k}{\sqrt{\sum_{k=0}^\infty a_k^2}} $
ovvero devo scegliere i coefficienti $a_k$ per avere il risultato maggiore possibile, qualcuno potrebbe darmi una dritta su come fare ?
ho provato ad usare $a_k=r^k$ ottenendo $\sqrt{\frac{2}{1-r}}$ per 1-r << 1. Si può fare di meglio ?
Risposte
Sei sicuro che vuoi massimizzare?
Prova a vedere cosa succede prendendo \(a_k = \lambda\) per ogni \(k=0,\ldots, N-1\), \(a_k=0\) per \(k\geq N\), con \(\lambda > 0\) fissato.
Prova a vedere cosa succede prendendo \(a_k = \lambda\) per ogni \(k=0,\ldots, N-1\), \(a_k=0\) per \(k\geq N\), con \(\lambda > 0\) fissato.
Grazie per la risposta!
Avevo provato anche quello ottenendo $\sqrt{N}$ che pensandoci su è il massimo che posso ottenere considerando che la soluzione è indipendente da $\lambda$ per $\lambda > 1$ e che per $\lambda < 1$ ho un risultato inferiore (facendo grossolane approssimazioni mi era sembrato che scegliendo r prossimo ad uno potessi avere un risultato maggiore fissato N).
Non esiste un modo più generico per affrontare la questione anche in casi più complessi ?
Avevo provato anche quello ottenendo $\sqrt{N}$ che pensandoci su è il massimo che posso ottenere considerando che la soluzione è indipendente da $\lambda$ per $\lambda > 1$ e che per $\lambda < 1$ ho un risultato inferiore (facendo grossolane approssimazioni mi era sembrato che scegliendo r prossimo ad uno potessi avere un risultato maggiore fissato N).
Non esiste un modo più generico per affrontare la questione anche in casi più complessi ?
Il punto è che per la successione indicata ha che il rapporto vale \(\sqrt{N}\), quindi lo puoi rendere arbitrariamente grande; di conseguenza, tale rapporto non è limitato superiormente.
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