Massimizzazione in più variabili

[pedrax]

Salve a tutti ragazzi.
Ho un problema nel risolvere una massimizzazione di f(x,y) sotto vincolo.

Vi spiego un po' :

F(x,y) : x-y Sotto Vincolo : 1- x^2 - y^2 = 0

Ho utilizzato le condizioni di lagrange mettendo a sistema utilizzando le derivate parziali e avevo :
1 = -2λx
-1 = -2λy
1-x^2-y^2 = 0

Per x e y = 0 non ci sono soluzioni ( impossibile )
Mentre non riesco a capire quali punti dovrei prendere come candidati per x diverso da zero e per y diverso da zero.

Qualcuno che mi dia una mano?

Grazie

[Camillo]

Non ti devi preoccupare del punto $x=y=0 $ in quanto non fa parte del vincolo che è la circonferenza di centro origine e raggio unitario.
Partendo dalle tue equazioni si ottiene
$ lambda=-1/(2x) $
$lambda= 1/(2y) $ da cui : $ -1/x=1/y rarr y=-x $ che sostituito nell'equazione del vincolo da' $1-x^2-x^2 =0 rarr x^2=1/2 $ e infine $x=+-sqrt(2)/2 $ e di conseguenza $y= - +- sqrt(2)/2 $.
I candidati sono i punti $A( sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2 )$ ;$B(- sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$.
Poiché F (x,y) è continua e il vincolo $x^2+y^2=1 $ è un insieme chiuso e limitato il Teorema di Weierstrass assicura l'esistenza di un punto di max e di uno di minimo che sono risp il punto A e il punto B $[F(A)= sqrt(2) ; F(B)=-sqrt(2)]$

[pedrax]

Grazie mille per la risposta camillo