Massimizzazione di funzione fratta

[cischi_88]

Ciao a tutti,

volevo chiedere se è possibile massimizzare una funzione di questo tipo massimizzando solo il numeratore.
tex
$\varphi= f(x)/(f(x)+f(y))$

dove $\varphi$ corrisponde ad una probabilità di vincere, la quale dato che $f(y)$ sarà sicuramente maggiore di $0$ (prendete questo come dato) non raggiungerà mai il valore $1$.
Per essere più chiaro, il mio unico obiettivo è quello di massimizzare questa funzione per $x$.

Io ho $frac{x^{1/2}*(1+((1-x)/x))}{x^{1/2}*(1+((1-x)/x))+y^{1/2}*(1+((1-y)/y))}$

dove 0.5 Posso massimizzare solo il numeratore per semplificarmi la vita?
Credo che il ragionamento sia sensato. Se $f(x)$ fosse ad esempio un output, per massimizzare $\varphi$ devo per forza massimizzare l'output quindi solo il numeratore tramite $x$.

Spero di essere stato chiaro,
Grazie per l'aiuto,

Francesco

[cischi_88]

dimenticavo, f(y) è l'output di un altro giocatore ed è dato.

[ciampax]

Vediamo di capirci: vuoi trovare i massimi di una funzione di due variabili schematizzata come hai fatto all'inizio. Per farlo, dunque, hai bisogno di calcolare i punti stazionari. Ora
$$\phi_x=\frac{f'(x)\cdot[f(x)+f(y)]-f(x)\cdot f'(x)}{[f(x)+f(y)]^2}=\frac{f'(x) f(y)}{[f(x)+f(y)]^2}\\ \phi_y=-\frac{f(x) f'(y)}{[f(x)+f(y)]^2}$$
Per i punti stazionari dovrai quindi risolvere il sistema
$$f'(x) f(y)=0,\qquad f(x) f'(y)=0$$
per cui non mi pare proprio tu possa concentrarti sul solo numeratore, non ti pare?

[cischi_88]

Riprovo a spiegarmi.
$\varphi_x$ dipende da x e y (però y è dato, è esogeno). Il ragionamento che facevo era questo. Avendo un $y$ dato (qualsiasi sia il suo valore purché strettamente maggiore di 0.5 zero e minore di uno). Per massimizzare $\varphi_x$ non è sufficiente trovare il massimo di $f(x)$?
Ancora qualsiasi sia il valore di $f(y)$ per avere $\varphi_x$ più grande possibile non è sufficiente che f(x) sia il più grande possibile?
Indipendentemente dal valore che assumerà y?

[cischi_88]

Grazie mille della risposta.

[cischi_88]

Ultima cosa poi mi ritiro che è meglio.

La funzione $\varphi_x= f(x)/(f(x)+f(y))$ dato che $f(x)>0,f(y)>0$ non ha punti critici. Tipo $x/(x+1)$ non ha punti critici giusto?
Il limite di x che tende a infinito mi da 1.

Non ci sono per niente?

Grazie delle risposte

Francesco

[ciampax]

Stavo guardando la funzione che vuoi massimizzare: ora, se non sbaglio $f(t)=t^{1/2}(1+{1-t}/{t})=1/t^{1/2}$ no? Per cui la tua funzione risulta
$$\phi(x,y)=\frac{x^{-1/2}}{x^{-1/2}+y^{-1/2}}=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$
Ora, quello che devi risolvere, in realtà, mi sembra un problema di massimo vincolato, dove il vincolo è il quadrato
$$Q=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 0,5 Dal momento che $(\phi_x,\phi_y)=(0,0)$ non ha soluzione su tale insieme, possiamo ragionare in modo un po' euristico. Supponiamo che $y$ sia fissato: allora è ovvio che la funzione decresce man mano che cresce $x$. Se invece $x$ è fissato, allora la funzione cresce al crescere di $y$ (lo vedi dal momento che puoi scrivere la funzione come $\phi(x,y)=1-{\sqrt{x}}/{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$). Per cui hai che, sulle rette $y=y_0$ la funzione decresce, sulle rette $x=x_0$ cresce. Pertanto, se ci spostiamo in verticale, il valore più grande sia ha avvicinandosi a $y=0,5$, mentre in orizzontale, il valore più grande si ha avvicinandosi a $x=1$. Per cui puoi assumere che il massimo della funzione si ha per il punto $(1;\ 0,5)$.

[cischi_88]

Unica cosa credo che la funzione $\varphi(x,y)$ debba essere riscritta così $\frac{sqrt{x}+sqrt{y}}{sqrt{x}}$ quindi il massimo sarà in
(0.5,1).
Ancora per qualsiasi y per massimizzare $\varphi$ dovrò scegliere x=0.5.

Ed ecco che in teoria è sufficiente sotto queste condizioni massimizzare il numeratore?
qualsiasi sarà y il massimo sarà dato da x=0.5.

Magari devo scrivere tutto il passaggio però è così. Sempre 0.5 qualsiasi sia il valore di y.

Attendo un ultima risposta.
Grazie mille sai,

Francesco

[ciampax]

No, la funzione riscritta per bene è quella che ho scritto io. Rifai i conti.

[cischi_88]

Ok, pardon, ma come dicevi, se la funzione decresce man mano che $x$ cresce con $y$ fisso. Ed ancora se cresce man mano che $y$ cresce, il massimo sarà $x_{min}=0.5$ e y_{max}=1.

[ciampax]

Ah sì, scusa, confondevo le coordinate.

[cischi_88]

basta sostituire in $\varphi=(sqrt(x)+sqrt(y))/sqrt(x)$

Ora anche se $y$ può avere qualsiasi valore tra 0.5 e 1. Il massimo per $\varphi$ sarà in x=0.5.

Quindi se massimizzo solo il numeratore, trovo sempre il massimo di $\varphi_x$?????